Uma carga \mathrm{q}_{1}=+25 \mathrm{nC} está na origem de um sistema de coordenadas xy . Uma carga \mathrm{q}_{2}=-15 \mathrm{nC} está sobre o eixo x em \mathrm{x}=2 \mathrm{~m} e uma carga \mathrm{q}_{0}=20 \mathrm{nC} está posicionada em um ponto com as coordenadas x=2 \mathrm{~m} e y=2 \mathrm{~m}. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre \mathrm{q}_{0}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre a carga \mathrm{q}_{0}.
Informações dadas:
  • \mathrm{q}_{1}=+25\\ \mathrm{nC} está em (0,0).
  • \mathrm{q}_{2}=-15\\ \mathrm{nC} está em (2\\ \mathrm{m},0).
  • \mathrm{q}_{0}=+20\\ \mathrm{nC} está em (2\\ \mathrm{m},2\\ \mathrm{m}).
Observações úteis (retidas do enunciado):
  • Todas as cargas são pontuais.
  • Coordenadas fornecidas são em metros e cargas em nanocoulombs.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando como funcionam, passo a passo):
  • Lei de Coulomb (módulo): para duas cargas pontuais \,q e \,Q separadas por distância r,
F=\;k\frac{|qQ|}{r^{2}},
onde k é a constante eletrostática. Aqui usaremos
k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Explicação: essa fórmula dá o valor absoluto da força entre duas cargas; a direção é ao longo da reta que liga as cargas. Se as cargas têm sinais iguais, a força é repulsiva (apontando para fora do outro); se sinais opostos, a força é atrativa (aponta na direção do outro).
  • Forma vetorial e superposição: a força total sobre \mathrm{q}_{0} é a soma vetorial das forças causadas por cada carga:
\vec{F}_{\text{res}}=\vec{F}_{1\to0}+\vec{F}_{2\to0}.
Aqui \vec{F}_{1\to0} é a força sobre \mathrm{q}_{0} devido a \mathrm{q}_{1}, etc. Para encontrar componentes, usamos vetores unitários que apontam na direção apropriada.
  • Conversão de unidades: nanocoulomb para coulomb:
1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Calcular a força em módulo exercida por \mathrm{q}_{1} sobre \mathrm{q}_{0} e suas componentes.
  1. Distância entre \mathrm{q}_{1} (origem) e \mathrm{q}_{0}(2,2):
r_{10}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
  1. Converter cargas para coulomb:
q_{1}=25\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad q_{0}=20\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  1. Módulo da força:
F_{1} = k\frac{|q_{1}q_{0}|}{r_{10}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\frac{(25\times10^{-9})(20\times10^{-9})}{(2\sqrt{2})^{2}}.
Calcular passo a passo:
(25\times10^{-9})(20\times10^{-9})=500\times10^{-18}=5{,}0\times10^{-16}\\ \mathrm{C^{2}},
r_{10}^{2}=8.
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F_{1}=8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{5{,}0\times10^{-16}}{8}= \frac{8{,}99\times5{,}0}{8}\times10^{-7}\\ \mathrm{N} =5{,}62\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
  1. Direção de \vec{F}_{1\to0}: \mathrm{q}_{1} é positiva e \mathrm{q}_{0} também; então a força é repulsiva: \mathrm{q}_{0} é empurrada para longe de \mathrm{q}_{1}, ou seja, ao longo do vetor que vai da origem para (2,2). O versor nessa direção é
\hat{u}_{10}=\frac{(2,2)}{\sqrt{8}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  1. Componentes:
F_{1x}=F_{1}\frac{1}{\sqrt{2}}=5{,}62\times10^{-7}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=3{,}97\times10^{-7}\\ \mathrm{N},
F_{1y}=F_{1}\frac{1}{\sqrt{2}}=3{,}97\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
(Arredondei as componentes mantendo 3 algarismos significativos para facilitar contas manuais.)

Passo 4

Calcular a força em módulo exercida por \mathrm{q}_{2} sobre \mathrm{q}_{0} e suas componentes.
  1. Distância entre \mathrm{q}_{2}(2,0) e \mathrm{q}_{0}(2,2):
r_{20}=2\\ \mathrm{m}.
  1. Converter cargas:
q_{2}=-15\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad q_{0}=20\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  1. Módulo da força:
F_{2}=k\frac{|q_{2}q_{0}|}{r_{20}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\frac{(15\times10^{-9})(20\times10^{-9})}{2^{2}}.
Calcular:
(15\times10^{-9})(20\times10^{-9})=300\times10^{-18}=3{,}0\times10^{-16}\\ \mathrm{C^{2}},
r_{20}^{2}=4,
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F_{2}=8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{3{,}0\times10^{-16}}{4} =6{,}74\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
  1. Direção de \vec{F}_{2\to0}: \mathrm{q}_{2} é negativa e \mathrm{q}_{0} positiva, então a força é atrativa: \mathrm{q}_{0} é puxada em direção a \mathrm{q}_{2}. Como \mathrm{q}_{2} está em (2,0) e \mathrm{q}_{0} em (2,2), a força é vertical para baixo (direção negativa do eixo y). Assim as componentes são:
F_{2x}=0,\qquad F_{2y}=-6{,}74\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Somar vetorialmente as componentes para obter a força resultante e encontrar módulo e direção.
  1. Componentes da resultante:
F_{x}=F_{1x}+F_{2x}=3{,}97\times10^{-7}+0=3{,}97\times10^{-7}\\ \mathrm{N},
F_{y}=F_{1y}+F_{2y}=3{,}97\times10^{-7}-6{,}74\times10^{-7}=-2{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
  1. Módulo:
F_{\text{res}}=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}} =\sqrt{(3{,}97\times10^{-7})^{2}+(-2{,}77\times10^{-7})^{2}}.
Calcular:
F_{\text{res}}\approx4{,}84\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
  1. Direção (ângulo em relação ao eixo +x, com sinal indicando acima/abaixo):
\theta=\arctan\!\left(\frac{F_{y}}{F_{x}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-2{,}77\times10^{-7}}{3{,}97\times10^{-7}}\right) =\arctan(-0{,}697)\approx-34{,}9^{\circ}.
Interpretação: o ângulo negativo indica que a força está apontando abaixo do eixo +x; ou seja, 34{,}9^{\circ} abaixo do eixo +x.
  1. Sentido em palavras: a resultante aponta para a direita e para baixo (componente positiva em x e negativa em y).

Resposta

Módulo: 4{,}84\times10^{-7}\\ \mathrm{N}
Direção: 34{,}9^{\circ} abaixo do eixo +x (ou \theta=-34{,}9^{\circ} medido a partir do +x)
Sentido: para a direita e para baixo (componente F_{x}=3{,}97\times10^{-7}\\ \mathrm{N}, F_{y}=-2{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{N}).

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