Em eletrostática, a função de Green para o operador Laplaciano no espaço livre tridimensional (sem fronteiras) é definida como a solução da equação
\nabla^{2} G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=-\delta^{3}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right),
onde \delta^{3}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) é a função delta de Dirac tridimensional, e G deve satisfazer condições de regularidade apropriadas à distância (por exemplo, G \rightarrow 0 quando \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| \rightarrow \infty ).
(a) Mostre que a função
G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=\frac{1}{4 \pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}
é exatamente a função de Green do espaço livre para o operador -\nabla^{2}. Para isso:
  • Verifique que, para \mathbf{r} \neq \mathbf{r}^{\prime}, G satisfaz a equação de Laplace \nabla^{2} G=0 (ou \nabla^{\prime 2} G=0 ).
  • Demonstre que a singularidade em \mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r} gera a função delta de Dirac. Utilize o teorema da divergência aplicado a uma pequena esfera de raio \epsilon centrada em \mathbf{r}, calcule o fluxo do gradiente \nabla^{\prime} G através da superfície da esfera e tome o limite \epsilon \rightarrow 0. Mostre que
\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \oint_{\left|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right|=\epsilon} \frac{\partial G}{\partial n^{\prime}} d A^{\prime}=-1
o que, pela definição da delta de Dirac em três dimensões, implica \nabla^{\prime 2} G=-\delta^{3}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
G\left(\mathbf{r},\mathbf{r}'\right)=\frac{1}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}
é a função de Green no espaço livre para o operador -\nabla^{2}. Especificamente solicita:
  • Mostrar que, para \mathbf{r}'\neq\mathbf{r}, vale \nabla'^{2}G=0.
  • Mostrar que a singularidade em \mathbf{r}'=\mathbf{r} gera a distribuição -\delta^{3}(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), ou seja, que ao integrar \nabla'^{2}G numa pequena bola centrada em \mathbf{r} obtemos -1. Para isso usar o teorema da divergência e calcular
\lim_{\epsilon\to 0}\oint_{|\mathbf{r}'-\mathbf{r}|=\epsilon}\frac{\partial G}{\partial n'}\,dA'=-1.
As informações dadas são a forma explícita de G e a condição de regularidade ao infinito ( G\to 0 quando |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\to\infty). A resolução começa agora.

Passo 2

Mostrar \nabla'^{2}G=0 para \mathbf{r}'\neq\mathbf{r}.
Defina a distância escalar
s:=\left|\mathbf{r}'-\mathbf{r}\right|.
Então G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\dfrac{1}{4\pi s}. Para funções radiais f(s) (isto é, que dependem só de s), o laplaciano em \mathbf{r}' tem a forma conhecida (fórmula do Laplaciano radial em 3D):
\nabla'^{2}f(s)=\frac{1}{s^{2}}\frac{d}{ds}\!\left(s^{2}\frac{df}{ds}\right).
Esta fórmula vem de escrever o laplaciano em coordenadas esféricas centradas em \mathbf{r} e usar que f não depende dos ângulos.
Aplique a fórmula com f(s)=\dfrac{1}{4\pi s}. Primeiro calcule a derivada:
\frac{df}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{4\pi s}\right)=-\frac{1}{4\pi s^{2}}.
Multiplicando por s^{2} e derivando:
s^{2}\frac{df}{ds}=s^{2}\left(-\frac{1}{4\pi s^{2}}\right)=-\frac{1}{4\pi}, \qquad \frac{d}{ds}\!\left(s^{2}\frac{df}{ds}\right)=\frac{d}{ds}\left(-\frac{1}{4\pi}\right)=0.
Portanto, para s\neq 0 (isto é, \mathbf{r}'\neq\mathbf{r}),
\nabla'^{2}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\frac{1}{s^{2}}\cdot 0=0.
Isso mostra a primeira parte: G é harmônica fora da singularidade.

Passo 3

Preparação para a segunda parte: usar o teorema da divergência sobre uma pequena bola B_{\epsilon} de raio \epsilon centrada em \mathbf{r}. Pelo teorema da divergência (aplicado ao campo \nabla' G) temos
\int_{B_{\epsilon}}\nabla'^{2}G\,dV'=\oint_{|\mathbf{r}'-\mathbf{r}|=\epsilon}\frac{\partial G}{\partial n'}\,dA',
onde \dfrac{\partial}{\partial n'} é a derivada normal à superfície, com a normal apontando para fora da bola (ou seja, na direção de \mathbf{r}'-\mathbf{r}). Nosso objetivo é calcular o fluxo à direita e tomar \epsilon\to 0.

Passo 4

Cálculo do gradiente \nabla' G e da derivada normal sobre a esfera.
Primeiro calcule \nabla'\big(\dfrac{1}{s}\big). Usando regra da cadeia e \nabla' s=(\mathbf{r}'-\mathbf{r})/s,
\nabla'\!\left(\frac{1}{s}\right)=-\frac{1}{s^{2}}\nabla' s =-\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{\mathbf{r}'-\mathbf{r}}{s} =-\frac{\mathbf{r}'-\mathbf{r}}{s^{3}}.
Como G=\dfrac{1}{4\pi s}, segue
\nabla' G=-\frac{1}{4\pi}\frac{\mathbf{r}'-\mathbf{r}}{s^{3}}.
Na superfície da esfera de raio \epsilon temos s=\epsilon e a normal unitária exterior é
\hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{r}'-\mathbf{r}}{\epsilon}.
A derivada normal é
\frac{\partial G}{\partial n'}=\hat{\mathbf{n}}\cdot\nabla' G =-\frac{1}{4\pi}\frac{\hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{r}'-\mathbf{r})}{\epsilon^{3}} =-\frac{1}{4\pi}\frac{\epsilon}{\epsilon^{3}} =-\frac{1}{4\pi\epsilon^{2}}.
Note que este valor é constante sobre a superfície esférica (não depende dos ângulos), o que facilita a integração do fluxo.

Passo 5

Cálculo do fluxo e limite \epsilon\to 0.
O elemento de área na esfera de raio \epsilon é dA'=\epsilon^{2}\,d\Omega, onde d\Omega é o elemento de ângulo sólido. Assim o fluxo é
\oint_{|\mathbf{r}'-\mathbf{r}|=\epsilon}\frac{\partial G}{\partial n'}\,dA' =\oint_{S}\left(-\frac{1}{4\pi\epsilon^{2}}\right)\epsilon^{2}\,d\Omega =-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}d\Omega.
A integral sobre todos os ângulos sólidos vale 4\pi. Logo
\oint_{|\mathbf{r}'-\mathbf{r}|=\epsilon}\frac{\partial G}{\partial n'}\,dA'=-\frac{1}{4\pi}\cdot 4\pi=-1.
Este resultado é independente de \epsilon (desde que \epsilon>0), portanto ao tomar o limite \epsilon\to 0 obtemos
\lim_{\epsilon\to 0}\oint_{|\mathbf{r}'-\mathbf{r}|=\epsilon}\frac{\partial G}{\partial n'}\,dA'=-1.

Passo 6

Interpretação como delta de Dirac e conclusão final.
Pelo teorema da divergência (Passo 3) temos
\int_{B_{\epsilon}}\nabla'^{2}G\,dV'=\oint_{|\mathbf{r}'-\mathbf{r}|=\epsilon}\frac{\partial G}{\partial n'}\,dA'=-1.
No limite \epsilon\to 0\) isto significa que a integral de \(\nabla'^{2}G\) sobre qualquer volume que contenha o ponto \(\mathbf{r}'=\mathbf{r}\) é \(-1\), enquanto para volumes que não contenham esse ponto (onde \(G\) é harmônica) a integral é \(0\). Essa propriedade caracteriza a distribuição \(-\delta^{3}(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\): por definição da delta tridimensional \[\int_{V}\delta^{3}(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,dV'= \begin{cases} 1,&\text{se }\mathbf{r}\in V,\\[4pt] 0,&\text{se }\mathbf{r}\notin V. \end{cases}
Comparando, obtemos no sentido das distribuições
\nabla'^{2}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-\delta^{3}(\mathbf{r}-\mathbf{r}').
Além disso G\to 0\] quando \(s\to\infty, portanto G satisfaz também a condição de decaimento ao infinito exigida para a função de Green no espaço livre.]

Resposta

\nabla'^{2}\left(\frac{1}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\right)=-\delta^{3}(\mathbf{r}-\mathbf{r}').

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