onde \delta^{3}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) é a função delta de Dirac tridimensional, e G deve satisfazer condições de regularidade apropriadas à distância (por exemplo, G \rightarrow 0 quando \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| \rightarrow \infty ).
(a) Mostre que a função
é exatamente a função de Green do espaço livre para o operador -\nabla^{2}. Para isso:
Verifique que, para \mathbf{r} \neq \mathbf{r}^{\prime}, G satisfaz a equação de Laplace \nabla^{2} G=0 (ou \nabla^{\prime 2} G=0 ).
Demonstre que a singularidade em \mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r} gera a função delta de Dirac. Utilize o teorema da divergência aplicado a uma pequena esfera de raio \epsilon centrada em \mathbf{r}, calcule o fluxo do gradiente \nabla^{\prime} G através da superfície da esfera e tome o limite \epsilon \rightarrow 0. Mostre que
\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \oint_{\left|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right|=\epsilon} \frac{\partial G}{\partial n^{\prime}} d A^{\prime}=-1
o que, pela definição da delta de Dirac em três dimensões, implica \nabla^{\prime 2} G=-\delta^{3}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right).
é a função de Green no espaço livre para o operador -\nabla^{2}. Especificamente solicita:
Mostrar que, para \mathbf{r}'\neq\mathbf{r}, vale \nabla'^{2}G=0.
Mostrar que a singularidade em \mathbf{r}'=\mathbf{r} gera a distribuição -\delta^{3}(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), ou seja, que ao integrar \nabla'^{2}G numa pequena bola centrada em \mathbf{r} obtemos -1. Para isso usar o teorema da divergência e calcular
As informações dadas são a forma explícita de G e a condição de regularidade ao infinito (G\to 0 quando |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\to\infty). A resolução começa agora.
Passo 2
Mostrar \nabla'^{2}G=0 para \mathbf{r}'\neq\mathbf{r}.
Defina a distância escalar
s:=\left|\mathbf{r}'-\mathbf{r}\right|.
Então G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\dfrac{1}{4\pi s}. Para funções radiais f(s) (isto é, que dependem só de s), o laplaciano em \mathbf{r}' tem a forma conhecida (fórmula do Laplaciano radial em 3D):
Isso mostra a primeira parte: G é harmônica fora da singularidade.
Passo 3
Preparação para a segunda parte: usar o teorema da divergência sobre uma pequena bola B_{\epsilon} de raio \epsilon centrada em \mathbf{r}. Pelo teorema da divergência (aplicado ao campo \nabla' G) temos
onde \dfrac{\partial}{\partial n'} é a derivada normal à superfície, com a normal apontando para fora da bola (ou seja, na direção de \mathbf{r}'-\mathbf{r}). Nosso objetivo é calcular o fluxo à direita e tomar \epsilon\to 0.
Passo 4
Cálculo do gradiente \nabla' G e da derivada normal sobre a esfera.
Primeiro calcule \nabla'\big(\dfrac{1}{s}\big). Usando regra da cadeia e \nabla' s=(\mathbf{r}'-\mathbf{r})/s,
\nabla'\!\left(\frac{1}{s}\right)=-\frac{1}{s^{2}}\nabla' s =-\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{\mathbf{r}'-\mathbf{r}}{s} =-\frac{\mathbf{r}'-\mathbf{r}}{s^{3}}.
No limite \epsilon\to 0\) isto significa que a integral de \(\nabla'^{2}G\) sobre qualquer volume que contenha o ponto \(\mathbf{r}'=\mathbf{r}\) é \(-1\), enquanto para volumes que não contenham esse ponto (onde \(G\) é harmônica) a integral é \(0\). Essa propriedade caracteriza a distribuição \(-\delta^{3}(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\): por definição da delta tridimensional
\[\int_{V}\delta^{3}(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,dV'= \begin{cases} 1,&\text{se }\mathbf{r}\in V,\\[4pt] 0,&\text{se }\mathbf{r}\notin V. \end{cases}
Além disso G\to 0\] quando \(s\to\infty, portanto G satisfaz também a condição de decaimento ao infinito exigida para a função de Green no espaço livre.]