… 22 A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=c t^{2}-b t^{3}, em que x está em metros e t em segundos. Quais são as unidades (a) da constante c e (b) da constante b ? Suponha que os valores numéricos de c e b são 3,0 e 2,0 , respectivamente. (c) Em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo de x ? De t=0,0 \mathrm{~s} a t=4,0 \mathrm{~s}, (d) qual é a distância percorrida pela partícula e (e) qual é o deslocamento? Determine a velocidade da partícula nos instantes (f) t=1,0 \mathrm{~s}, (g) t=2,0 \mathrm{~s}, (h) t=3,0 \mathrm{~s}, e (i) t=4,0 \mathrm{~s}. Determine a aceleração da partícula nos instantes (j) t=1,0 \mathrm{~s}, (k) t=2,0 \mathrm{~s}, (l) t=3,0 \mathrm{~s} e (m) t=4,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula
x = c\,t^{2} - b\,t^{3}
com x em metros e t em segundos, pede (a) e (b) as unidades de c e b, depois com c=3{,}0 e b=2{,}0 encontra (c) o instante de x máximo, de t=0 a t=4{,}0 s calcula (d) a distância percorrida e (e) o deslocamento, e em seguida determina a velocidade nos instantes (f) 1{,}0 s, (g) 2{,}0 s, (h) 3{,}0 s, (i) 4{,}0 s, e a aceleração nos instantes (j) 1{,}0 s, (k) 2{,}0 s, (l) 3{,}0 s e (m) 4{,}0 s.

Passo 2

Para cada termo de x as unidades devem dar metro. No termo c\,t^{2} temos
[c]\times\text{s}^{2} = \text{m}
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[c] = \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}.
No termo b\,t^{3} temos
[b]\times\text{s}^{3} = \text{m}
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[b] = \frac{\text{m}}{\text{s}^{3}}.

Passo 3

Para achar o instante de x máximo, derivamos x em relação a t e igualamos a zero:
v(t) = \frac{dx}{dt} = 2\,c\,t - 3\,b\,t^{2}
0 = t\,(2c - 3b\,t) \;\Longrightarrow\; t=0\quad\text{ou}\quad t=\frac{2c}{3b}.
Com c=3{,}0 e b=2{,}0:
t = \frac{2\times3}{3\times2} = 1{,}0\text{ s}.

Passo 4

Para a distância percorrida de t=0 a t=4{,}0 s, analisamos onde x muda de sinal. As raízes de x(t)=c\,t^{2}-b\,t^{3}=t^{2}(c-b\,t) são t=0 e t=c/b=3/2=1{,}5 s.
  • De 0 a 1{,}0 s, x vai de 0 a +1 m: distância 1 m.
  • De 1{,}0 a 1{,}5 s, x vai de +1 m a 0: mais 1 m.
  • De 1{,}5 a 4{,}0 s, x vai de 0 a -80 m: distância 80 m.
    Somando, a distância total é
1 + 1 + 80 = 82\text{ m}.

Passo 5

O deslocamento é
\Delta x = x(4{,}0) - x(0) = \bigl(3\cdot4^{2} - 2\cdot4^{3}\bigr) - 0 = (48 - 128) = -80\text{ m}.

Passo 6

A velocidade geral já usamos acima:
v(t) = 2\,c\,t - 3\,b\,t^{2}.
Com c=3 e b=2 fica
v(t) = 6\,t - 6\,t^{2} = 6\,t\,(1 - t).
Calculando nos instantes pedidos:
v(1{,}0) = 6\cdot1\cdot0 = 0\text{ m/s}, \quad v(2{,}0) = 6\cdot2\cdot(-1) = -12\text{ m/s},
v(3{,}0) = 6\cdot3\cdot(-2) = -36\text{ m/s}, \quad v(4{,}0) = 6\cdot4\cdot(-3) = -72\text{ m/s}.

Passo 7

A aceleração é a derivada de v(t):
a(t) = \frac{dv}{dt} = 2\,c - 6\,b\,t.
Com c=3 e b=2 fica
a(t) = 6 - 12\,t.
Nos instantes pedidos:
a(1{,}0) = 6 - 12 = -6\text{ m/s}^{2}, \quad a(2{,}0) = 6 - 24 = -18\text{ m/s}^{2},
a(3{,}0) = 6 - 36 = -30\text{ m/s}^{2}, \quad a(4{,}0) = 6 - 48 = -42\text{ m/s}^{2}.

Resposta

(a) \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}
(b) \frac{\text{m}}{\text{s}^{3}}
(c) 1{,}0 s
(d) 82 m
(e) -80 m
(f) 0 m/s
(g) -12 m/s
(h) -36 m/s
(i) -72 m/s
(j) -6 m/s ^2
(k) -18 m/s ^2
(l) -30 m/s ^2
(m) -42 m/s ^2

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