-47 Em um prédio em construção, uma chave de grifo chega ao solo com uma velocidade de 24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) De que altura um operário a deixou cair? (b) Quanto tempo durou a queda? (c) Esboce os gráficos de y, v e a em função de t para a chave de grifo.

Passo 1

O enunciado descreve uma chave que cai em queda livre a partir do repouso e chega ao solo com velocidade final de 24\\ \text{m/s}. O conteúdo é cinemática de movimento uniformemente acelerado (MUA) sob a aceleração da gravidade g. Vamos usar as equações
\,v^2 = v_0^2 + 2 g h e \,v = v_0 + g t
para determinar a altura h e o tempo t. Para os gráficos, escolhemos eixo positivo para baixo, com y=0 no ponto de soltura.

Passo 2

Para achar a altura h, note que a velocidade inicial é v_0=0 e a aceleração vale \,g=9,8\\ \text{m/s}^2. Pela equação de Torricelli
v^2 = v_0^2 + 2\,g\,h
substituindo v=24\\ \text{m/s} e v_0=0, obtemos
h = \frac{v^2}{2\,g} = \frac{(24)^2}{2 \times 9,8}\approx 29,4\\ \text{m}.

Passo 3

Para determinar o tempo de queda t, usamos a relação
v = v_0 + g\,t.
Como v_0=0 e v=24\\ \text{m/s}, temos
t = \frac{v}{g} = \frac{24}{9,8}\approx 2,45\\ \text{s}.

Passo 4

Agora os esboços dos gráficos em função do tempo t (eixo horizontal):
— Trajetória y(t): como adotamos y=0 no ponto de soltura e eixo positivo para baixo, vale
y(t)=\tfrac12\,g\,t^2,
uma parábola que parte de (0,0) e chega a (2{,}45,\,29{,}4).
— Velocidade v(t): é uma reta que parte de v(0)=0 e cresce com inclinação g, ou seja,
v(t)=g\,t,
de (0,0) até (2{,}45,\,24).
— Aceleração a(t): é constante e igual a g, logo o gráfico é uma linha horizontal em a=g\approx9,8\\ \text{m/s}^2 para todo t\in[0,2{,}45].

Resposta

(a) 29,4\\ \text{m}
(b) 2,45\\ \text{s}
(c) y(t)=\tfrac12\,g\,t^2 (parábola), v(t)=g\,t (reta), a(t)=g (constante)

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