4.22 Uma tira de aço de 900 mm é fletida por dois conjugados aplicados como mostrado até que se forme um círculo completo. Determine (a) a máxima espessura t que a tira pode ter se a tensão admissível para o aço é de 420 MPa, (b) o correspondente momento de flexão M dos conjugados. Adote E=200 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a máxima espessura t que a tira de aço pode ter se a tensão admissível é 420\\ \text{MPa};
  • (b) determinar o momento de flexão M correspondente aos conjugados que dobraram a tira em um círculo completo.
Informações fornecidas (peguei estes números da figura):
  • comprimento da tira: 900\\ \text{mm};
  • largura (espessura lateral) da seção retangular: 8\\ \text{mm};
  • espessura da placa na direção de curvatura: t (incógnita);
  • tensão admissível: 420\\ \text{MPa};
  • módulo de Young: E=200\\ \text{GPa}.
Observação geométrica importante (vinda do enunciado/figura): a tira forma um círculo completo, portanto seu comprimento 900\\ \text{mm} é igual à circunferência 2\pi r do círculo formado. A partir disso será possível obter o raio de curvatura r.

Passo 2

Conceito físico usado — distribuição de deformação e tensão em flexão pura:
  • Em flexão pura com curvatura constante 1/r, a deformação longitudinal numa fibra a uma distância y do eixo neutro é
\epsilon(y)=\frac{y}{r},
onde y é positivo na fibra externa (distância medida perpendicular ao eixo neutro).
  • A lei de Hooke linear fornece a tensão correspondente:
\sigma(y)=E\,\epsilon(y)=E\frac{y}{r}.
  • A tensão máxima ocorre na fibra mais externa, isto é para y=c, sendo c a distância do eixo neutro à fibra extrema. Para uma placa de espessura t com eixo neutro no meio, temos c=\dfrac{t}{2}. Então a tensão máxima vale
\sigma_{\max}=E\frac{t}{2r}.
Aqui:
  • E é o módulo de Young (no mesmo sistema de unidades das tensões),
  • t é a espessura que queremos,
  • r é o raio de curvatura do arco formado pela tira.

Passo 3

Usar o requisito de segurança (tensão admissível):
  • A condição de segurança é \sigma_{\max}\le\sigma_{\text{adm}}.
    Substituindo a expressão da tensão máxima:
E\frac{t}{2r}\le\sigma_{\text{adm}}.
Isolando t obtemos a fórmula que usaremos:
t\le\frac{2r\,\sigma_{\text{adm}}}{E}.

Passo 4

Determinar o raio r a partir do comprimento da tira:
  • Como a tira forma um círculo completo,
2\pi r = 900\\ \text{mm},
logo
r=\frac{900}{2\pi}=\frac{450}{\pi}\\ \text{mm}\approx 143,239\\ \text{mm}.

Passo 5

Calcular t_{\max} usando a fórmula de segurança:
  • Substituindo \sigma_{\text{adm}}=420\\ \text{MPa} e E=200\\ \text{GPa}=200000\\ \text{MPa} na fórmula
t_{\max}=\frac{2r\,\sigma_{\text{adm}}}{E},
temos
t_{\max}=\frac{2\cdot 143,239\cdot 420}{200000}\\ \text{mm}.
Agora a conta (fazendo passo a passo):
2r=286,478\\ \text{mm},
2r\cdot\sigma_{\text{adm}}=286,478\cdot420=120320,76,
t_{\max}=\frac{120320,76}{200000}=0,6016038\\ \text{mm}\approx 0,602\\ \text{mm}.
Portanto a máxima espessura admissível é aproximadamente 0,602\\ \text{mm}.

Passo 6

Relação para o momento de flexão M:
  • A relação entre momento, rigidez e curvatura para flexão elástica é
M=E\,I\,\kappa=E\frac{I}{r},
onde I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro e \kappa=1/r é a curvatura.
  • Para uma seção retangular de largura b (aqui b=8\\ \text{mm}) e altura t, o momento de inércia em torno do eixo neutro é
I=\frac{b\,t^{3}}{12}.
  • Outra forma de obter M é pela fórmula da tensão:
\sigma_{\max}=\frac{M c}{I}\quad\Rightarrow\quad M=\frac{\sigma_{\max} I}{c},
com c=t/2. Ambas as relações são equivalentes quando \sigma_{\max}=E c/r.

Passo 7

Calcular I usando t=t_{\max} e b=8\\ \text{mm}:
  • Calcular t^{3}:
t^{3}=(0,6016038)^{3}\approx 0,2179\\ \text{mm}^{3}.
  • Então
I=\frac{8\cdot 0,2179}{12}=\frac{2}{3}\cdot 0,2179\approx 0,14527\\ \text{mm}^{4}.

Passo 8

Calcular M pela fórmula M=E I / r:
  • Substituindo E=200000\\ \text{MPa}, I\approx 0,14527\\ \text{mm}^{4} e r\approx 143,239\\ \text{mm},
M=\frac{200000\cdot 0,14527}{143,239}\\ \text{N}\cdot\text{mm}\approx 202,8\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Convertendo para \text{N}\cdot\text{m}:
M\approx 0,2028\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 0,203\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 9

Checagem rápida usando M=\dfrac{\sigma_{\max}I}{c}:
  • Com \sigma_{\max}=420\\ \text{MPa}, I\approx 0,14527\\ \text{mm}^{4} e c=t/2\approx 0,3008\\ \text{mm},
M=\frac{420\cdot 0,14527}{0,3008}\approx 202,8\\ \text{N}\cdot\text{mm},
que confirma o valor obtido no passo anterior.

Passo 10

Comentário final curto e incentivo:
  • Resultado: a tira deve ser bem fina ( \sim0,6\\ \text{mm}) para que a tensão não ultrapasse 420\\ \text{MPa}. Está tudo coerente com as fórmulas de flexão elástica — se precisares, a gente pode refazer com mais casas decimais ou apresentar o mesmo resultado em outras unidades. Força aí nos estudos — já era meio caminho andado!

Resposta

(a) t_{\max}=0,602\\ \text{mm}
(b) M\approx 203\\ \text{N}\cdot\text{mm}=0,203\\ \text{N}\cdot\text{m}

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