4.22 Uma tira de aço de 900 mm é fletida por dois conjugados aplicados como mostrado até que se forme um círculo completo. Determine (a) a máxima espessura
que a tira pode ter se a tensão admissível para o aço é de 420 MPa, (b) o correspondente momento de flexão
dos conjugados. Adote
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar a máxima espessura
que a tira de aço pode ter se a tensão admissível é ; - (b) determinar o momento de flexão
correspondente aos conjugados que dobraram a tira em um círculo completo.
Informações fornecidas (peguei estes números da figura):
- comprimento da tira:
; - largura (espessura lateral) da seção retangular:
; - espessura da placa na direção de curvatura:
(incógnita); - tensão admissível:
; - módulo de Young:
.
Observação geométrica importante (vinda do enunciado/figura): a tira forma um círculo completo, portanto seu comprimento
é igual à circunferência
do círculo formado. A partir disso será possível obter o raio de curvatura
.
Passo 2
Conceito físico usado — distribuição de deformação e tensão em flexão pura:
- Em flexão pura com curvatura constante
, a deformação longitudinal numa fibra a uma distância do eixo neutro é
onde
é positivo na fibra externa (distância medida perpendicular ao eixo neutro).
- A lei de Hooke linear fornece a tensão correspondente:
- A tensão máxima ocorre na fibra mais externa, isto é para
, sendo a distância do eixo neutro à fibra extrema. Para uma placa de espessura com eixo neutro no meio, temos . Então a tensão máxima vale
Aqui:
-
é o módulo de Young (no mesmo sistema de unidades das tensões), -
é a espessura que queremos, -
é o raio de curvatura do arco formado pela tira.
Passo 3
Usar o requisito de segurança (tensão admissível):
- A condição de segurança é
.
Substituindo a expressão da tensão máxima:
Isolando
obtemos a fórmula que usaremos:
Passo 4
Determinar o raio
a partir do comprimento da tira:
- Como a tira forma um círculo completo,
logo
Passo 5
Calcular
usando a fórmula de segurança:
- Substituindo
e na fórmula
temos
Agora a conta (fazendo passo a passo):
Portanto a máxima espessura admissível é aproximadamente
.
Passo 6
Relação para o momento de flexão
:
- A relação entre momento, rigidez e curvatura para flexão elástica é
onde
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro e
é a curvatura.
- Para uma seção retangular de largura
(aqui ) e altura , o momento de inércia em torno do eixo neutro é
- Outra forma de obter
é pela fórmula da tensão:
com
. Ambas as relações são equivalentes quando
.
Passo 7
Calcular
usando
e
:
- Calcular
:
- Então
Passo 8
Calcular
pela fórmula
:
- Substituindo
, e ,
- Convertendo para
:
Passo 9
Checagem rápida usando
:
- Com
, e ,
que confirma o valor obtido no passo anterior.
Passo 10
Comentário final curto e incentivo:
- Resultado: a tira deve ser bem fina (
) para que a tensão não ultrapasse . Está tudo coerente com as fórmulas de flexão elástica — se precisares, a gente pode refazer com mais casas decimais ou apresentar o mesmo resultado em outras unidades. Força aí nos estudos — já era meio caminho andado!
Resposta
(a)
(b)
(b)