4.25 (a) Utilizando a tensão admissível de 120 MPa , determine o maior conjugado \mathbf{M} que pode ser aplicado à viga cuja seção transversal é a mostrada. (b) Resolva a parte a, admitindo que a seção transversal da viga é um quadrado de lado 80 mm .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Usando a tensão admissível de \,120\\ \text{MPa}, determinar o maior momento fletor (conjugado) \mathbf{M} que pode ser aplicado à viga com a seção mostrada na figura.
  • (b) Repetir (a) supondo agora que a seção transversal é um quadrado maciço de lado 80\\ \text{mm}.
Informações dadas (extraídas da imagem):
  • A seção é um retângulo oco centrado: abertura interna 80\\ \text{mm}\times80\\ \text{mm}.
  • Espessura superior e inferior: 10\\ \text{mm} cada.
  • Espessura lateral (esquerda/direita): 5\\ \text{mm} cada.
  • Assim, dimensão externa vertical total =80+10+10=100\\ \text{mm}.
  • Dimensão externa horizontal total =80+5+5=90\\ \text{mm}.
  • Tensão admissível: \,120\\ \text{MPa} = 120\\ \text{N/mm}^2.
O objetivo numérico em cada caso é achar o maior \,M tal que a tensão máxima de flexão não ultrapasse \,120\\ \text{MPa}.

Passo 2

Princípio de flexão (fórmula que vamos usar)
  • Para flexão pura em seção composta linearmente elástica, a tensão normal devido a um momento fletor \,M em um ponto com distância \,y ao eixo neutro vale
\sigma = \frac{M\,y}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão normal (em \text{N/mm}^2),
  • \,M é o momento fletor (em \text{N·mm}),
  • \,y é a distância do ponto ao eixo neutro (em \text{mm}),
  • \,I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (em \text{mm}^4).
  • A tensão máxima de flexão \sigma_{\max} ocorre na fibra mais distante do eixo neutro, com \,y=y_{\max}. Para não exceder a tensão admissível \sigma_{adm} temos
\sigma_{adm} = \frac{M_{\max}\,y_{\max}}{I} \quad\Rightarrow\quad M_{\max} = \frac{\sigma_{adm}\,I}{y_{\max}}.
Explicando de forma prática: para achar M_{\max} precisamos de três coisas:
  1. \sigma_{adm} (dada: 120\\ \text{MPa}),
  2. I da seção (calcular),
  3. y_{\max} (distância do centro até a fibra extremal).
Vamos aplicar isso às duas seções.

Passo 3

Cálculo de I para a seção oca da parte (a) (método: retângulo externo menos retângulo interno).
Fórmula do momento de inércia de um retângulo em torno do eixo neutro que passa pelo seu centro (eixo horizontal que corta o centro):
I_{\text{ret}} = \frac{b\,h^{3}}{12},
onde b é a base (largura horizontal) e h a altura (vertical).
Para a seção oca:
  • Retângulo externo: b_{out}=90\\ \text{mm},\\ h_{out}=100\\ \text{mm}.
I_{out} = \frac{90\cdot 100^{3}}{12}.
Calculemos:
100^{3}=1{,}000{,}000,\qquad I_{out}=\frac{90\cdot 1{,}000{,}000}{12}=7{,}5\times10^{6}\\ \text{mm}^{4}.
  • Retângulo interno (vazio): b_{in}=80\\ \text{mm},\\ h_{in}=80\\ \text{mm}.
I_{in} = \frac{80\cdot 80^{3}}{12}.
Calculemos:
80^{3}=512{,}000,\qquad I_{in}=\frac{80\cdot 512{,}000}{12}=3{,}413{,}333{,}333\ldots\times10^{0}\\ \text{mm}^{4}=3{,}413333\times10^{6}\\ \text{mm}^{4}.
  • Momento de inércia líquido da seção oca:
I = I_{out}-I_{in}=7{,}5\times10^{6}-3{,}413333\times10^{6}=4{,}086667\times10^{6}\\ \text{mm}^{4}.

Passo 4

Determinar y_{\max} e calcular M_{\max} para (a).
  • A distância do centro geométrico até a fibra superior (ou inferior) é metade da altura externa:
y_{\max} = \frac{h_{out}}{2}=\frac{100}{2}=50\\ \text{mm}.
  • Usando \sigma_{adm}=120\\ \text{N/mm}^2 e a fórmula
M_{\max}=\frac{\sigma_{adm}\,I}{y_{\max}},
temos
M_{\max}=\frac{120\cdot 4{,}086667\times10^{6}}{50}\\ \text{N·mm}.
Calcule:
\frac{120}{50}=2{,}4,\qquad M_{\max}=2{,}4\cdot 4{,}086667\times10^{6}=9{,}808000\times10^{6}\\ \text{N·mm}.
Converter para unidades mais usuais:
9{,}808000\times10^{6}\\ \text{N·mm}=9{,}808{,}000\\ \text{N·mm}=9{,}808\\ \text{N·m}\times10^{3}=9{,}808\\ \text{kN·m}
(mais prático escrever como 9{,}808\times10^{3}\\ \text{N·m}=9{,}808\\ \text{kN·m}). Arredondando com três algarismos significativos: 9{,}81\\ \text{kN·m}.

Passo 5

Cálculo para a parte (b): seção quadrada maciça de lado 80\\ \text{mm}.
  • Para um retângulo (aqui quadrado) maciço, com b=80\\ \text{mm} e h=80\\ \text{mm},
I = \frac{b\,h^{3}}{12}=\frac{80\cdot 80^{3}}{12}.
Já calculado antes como o I_{in} do caso oco:
I = 3{,}413333\times10^{6}\\ \text{mm}^{4}.
  • A distância até a fibra extremal:
y_{\max} = \frac{80}{2}=40\\ \text{mm}.
  • Aplicando a fórmula
M_{\max}=\frac{\sigma_{adm}\,I}{y_{\max}}=\frac{120\cdot 3{,}413333\times10^{6}}{40}\\ \text{N·mm}.
Calcule:
\frac{120}{40}=3,\qquad M_{\max}=3\cdot 3{,}413333\times10^{6}=10{,}24\times10^{6}\\ \text{N·mm}.
Converter:
10{,}24\times10^{6}\\ \text{N·mm}=10{,}240\\ \text{N·m}=10{,}24\\ \text{kN·m}.
Arredondando: 10{,}24\\ \text{kN·m}.

Passo 6

Resumo e interpretação rápida (motivacional)
  • A diferença entre os dois casos é que a seção oca perde parte do momento de inércia por ter material removido no centro; por isso o quadrado maciço suporta, com a mesma tensão admissível, um pouco mais de momento fletor.
  • Você pode aplicar esse mesmo procedimento a qualquer outra geometria: calcule I (por soma/subtração das partes), determine y_{\max} e use M_{\max}=\dfrac{\sigma_{adm}\,I}{y_{\max}}.

Resposta

(a) M_{\max}=9{,}81\\ \text{kN}\cdot\text{m}
(b) M_{\max}=10{,}24\\ \text{kN}\cdot\text{m}

Exercícios relacionados