PROBLEM 4.119
“Uma força vertical \mathbf{P} é aplicada no ponto C localizado sobre o eixo de simetria da seção transversal de uma coluna curta. Determine o intervalo de valores de y para os quais não ocorrem tensões de tração na coluna.”

Passo 1

Vou primeiro deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados disponíveis (peguei estes números da imagem enviada).
  • O que se pede: determinar o intervalo de valores de y para os quais NÃO ocorrem tensões de tração na coluna quando a força vertical \mathbf{P} é aplicada deslocada da linha de centro (isto é, quando há excentricidade y que causa um momento M=P\,y). Em outras palavras: encontrar o intervalo de excentricidades ao longo do eixo y para o qual toda a seção está sob compressão (nenhuma fibra em tração).
  • Dados da seção transversal (retirados da imagem):
    • Flange (parte superior): largura b_f=6\\ \text{in} e espessura h_f=2\\ \text{in}.
    • Alma (haste vertical/“stem”): largura b_s=1\\ \text{in} e altura h_s=4\\ \text{in} (situada sob a flange, centrada).
  • Observações geométricas úteis (da figura):
    • Altura total da seção H=h_f+h_s=2+4=6\\ \text{in}.
    • A seção é simétrica em relação ao eixo vertical (eixo y da figura), mas a posição da força pode variar horizontalmente em y (causando momento em torno do eixo horizontal da seção).
  • O que vamos calcular:
    1. Área total A da seção e localização do centróide vertical \bar{y}.
    2. Momento de inércia da seção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide, I.
    3. As distâncias c_\text{top} e c_\text{bot} do centróide até as fibras extremas.
    4. A condição para que não haja tensão de tração (i.e., tensão mínima \sigma_\text{min}\ge 0), que leva a um limite máximo da excentricidade y. \n
      Não inicio a resolução aqui; isso começa no Passo 2.

Passo 2

Calcular áreas parciais e área total A, e localizar o centróide vertical \bar{y} (método das áreas).
  • Fórmula do centróide composta: para duas partes i, \bar{y}=\dfrac{\sum_i A_i\,y_i}{\sum_i A_i},onde A_i é a área da parte i e y_i é a distância vertical do centroide dessa parte até uma origem escolhida.
  • Escolho como origem a base da alma (a face inferior da seção), medida para cima. Então:
    • Alma: A_s=b_s h_s = 1\cdot4=4\\ \text{in}^2. O centroide da alma está a y_s=\dfrac{h_s}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\ \text{in} da base.
    • Flange: A_f=b_f h_f = 6\cdot2=12\\ \text{in}^2. O topo da alma fica a 4\\ \text{in} da base, então o centroide da flange está a y_f=4+\dfrac{h_f}{2}=4+1=5\\ \text{in}.
  • Área total: A = A_s + A_f = 4 + 12 = 16\\ \text{in}^2.
  • Coordenada do centróide: \bar{y}=\dfrac{A_s y_s + A_f y_f}{A}=\dfrac{4\cdot2 + 12\cdot5}{16}=\dfrac{8+60}{16}=\dfrac{68}{16}=4{,}25\\ \text{in}.Interpretação: o centróide fica a 4{,}25\\ \text{in} acima da base da alma (ou seja, a 6-4{,}25=1{,}75\\ \text{in} abaixo do topo).

Passo 3

Calcular o momento de inércia I da seção em torno do eixo horizontal que passa pelo centróide (eixo neutro). Vou usar a fórmula do momento de inércia para retângulos e o teorema dos eixos paralelos.
  • Fórmula elemental (retângulo, com base b e altura h, eixo pelo seu centro): I_{\text{cent}}=\dfrac{1}{12} b\,h^3.
  • Teorema dos eixos paralelos (para deslocar de um eixo passando pelo centro da peça para o eixo neutro da seção): I = I_{\text{cent}} + A\,d^2,onde d é a distância entre os dois eixos.
  • Para a alma (stem):
    • b_s=1\\ \text{in}, h_s=4\\ \text{in}.
    • Momento de inércia em torno do centro da alma: I_{s,\text{cent}}=\dfrac{1}{12}\,b_s h_s^3=\dfrac{1}{12}\cdot1\cdot4^3=\dfrac{64}{12}=\dfrac{16}{3}\\ \text{in}^4.
    • Distância do centro da alma ao centróide da seção: d_s=\bar{y}-y_s=4{,}25-2=2{,}25\\ \text{in}.
    • Aplicando o teorema dos eixos paralelos: I_s = I_{s,\text{cent}} + A_s d_s^2 = \dfrac{16}{3} + 4\cdot(2{,}25)^2.Calcular 4\cdot(2{,}25)^2=4\cdot5{,}0625=20{,}25. Assim I_s=\dfrac{16}{3}+20{,}25=\dfrac{16}{3}+\dfrac{81}{4}=\dfrac{307}{12}\\ \text{in}^4\\ (\approx25{,}5833).
  • Para a flange:
    • b_f=6\\ \text{in}, h_f=2\\ \text{in}.
    • Momento de inércia em torno do centro da flange: I_{f,\text{cent}}=\dfrac{1}{12}\,b_f h_f^3=\dfrac{1}{12}\cdot6\cdot2^3=\dfrac{48}{12}=4\\ \text{in}^4.
    • Distância do centro da flange ao centróide da seção: d_f=y_f-\bar{y}=5-4{,}25=0{,}75\\ \text{in}.
    • Aplicando o teorema dos eixos paralelos: I_f = I_{f,\text{cent}} + A_f d_f^2 = 4 + 12\cdot(0{,}75)^2.Calcular 12\cdot(0{,}75)^2=12\cdot0{,}5625=6{,}75. Assim I_f = 4 + 6{,}75 = 10{,}75 = \dfrac{43}{4}\\ \text{in}^4.
  • Momento de inércia total em torno do eixo neutro: I = I_s + I_f = \dfrac{307}{12} + \dfrac{43}{4} = \dfrac{436}{12}=\dfrac{109}{3}\\ \text{in}^4 \approx 36{,}3333\\ \text{in}^4.

Passo 4

Determinar as distâncias às fibras extremas c_\text{top} e c_\text{bot} e identificar a fibra crítica.
  • Distância ao topo: c_\text{top}=y_{\text{top}}-\bar{y}=6-4{,}25=1{,}75\\ \text{in}.
  • Distância à base (fundo da alma): c_\text{bot}=\bar{y}-y_{\text{bot}}=4{,}25-0=4{,}25\\ \text{in}.
  • A fibra mais distante do eixo neutro é a inferior (base da alma), com c_\text{max}=4{,}25\\ \text{in}. Essa será a fibra que mais “sofre” com o momento e, portanto, a que mais facilmente entra em tração quando a excentricidade tem sinal que produz tração aí.

Passo 5

Escrever a condição para NÃO ocorrer tração (usar a fórmula da tensão normal por força excêntrica) e encontrar o limite máximo de y.
  • Fórmula da tensão normal em uma seção sujeita a força axial P com momento M (devido à excentricidade y): \sigma(x)=\dfrac{P}{A}\pm \dfrac{M\,\tilde{y}}{I},onde:
    • \dfrac{P}{A} é a tensão média de compressão (positiva aqui para compressão),
    • M=P\,y é o momento externo (produto da força pela excentricidade y),
    • \tilde{y} é a distância da fibra considerada ao eixo neutro (aqui usaremos c para as fibras extremas),
    • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro.
  • Para garantir que não haja tração em nenhuma fibra é necessário que a tensão mínima seja \ge 0. Considerando a fibra mais afastada (pior caso), a tensão mínima será \sigma_\text{min}=\dfrac{P}{A}-\dfrac{M\,c_\text{max}}{I}=\dfrac{P}{A}-\dfrac{P\,y\,c_\text{max}}{I}.(o sinal negativo aparece porque o momento reduz a compressão em uma das faces).
  • Exigir \sigma_\text{min}\ge 0 e dividir por P>0: \dfrac{1}{A}-\dfrac{y\,c_\text{max}}{I}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y\le \dfrac{I}{A\,c_\text{max}}.Como a seção é simétrica lateralmente, o mesmo raciocínio vale para y negativo (simetria de sinal). Assim a excentricidade deve satisfazer |y|\le \dfrac{I}{A\,c_\text{max}}.
  • Substituir os valores numéricos: I=\dfrac{109}{3}\\ \text{in}^4,\quad A=16\\ \text{in}^2,\quad c_\text{max}=4{,}25=\dfrac{17}{4}\\ \text{in}.Portanto y_\text{max}=\dfrac{I}{A\,c_\text{max}}=\dfrac{\tfrac{109}{3}}{16\cdot\dfrac{17}{4}} =\dfrac{109}{3}\cdot\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{4}{17} =\dfrac{109}{204}\\ \text{in}\approx 0{,}534\\ \text{in}.

Passo 6

Interpretação final e resposta prática (motivação para prova).
  • Significado físico: o conjunto dos pontos de aplicação da força cuja linha de ação fica dentro de um núcleo central (kernel) — aqui uma faixa simétrica ao redor do centróide com semi‑largura y_\text{max} — produz apenas compressão na seção. Se a força for deslocada mais que isso, aparecerá tração numa face.
  • Resultado numérico prático: a força vertical deve atuar a uma distância lateral y do eixo de centróide tal que |y|\le 0{,}534\\ \text{in}para garantir ausência de tração.

Resposta

-0{,}534\\ \text{in} \le y \le 0{,}534\\ \text{in}

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