PROBLEM 4.119
“Uma força vertical
é aplicada no ponto
localizado sobre o eixo de simetria da seção transversal de uma coluna curta. Determine o intervalo de valores de
para os quais não ocorrem tensões de tração na coluna.”
Passo 1
Vou primeiro deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados disponíveis (peguei estes números da imagem enviada).
- O que se pede: determinar o intervalo de valores de
para os quais NÃO ocorrem tensões de tração na coluna quando a força vertical é aplicada deslocada da linha de centro (isto é, quando há excentricidade que causa um momento ). Em outras palavras: encontrar o intervalo de excentricidades ao longo do eixo para o qual toda a seção está sob compressão (nenhuma fibra em tração). - Dados da seção transversal (retirados da imagem):
- Flange (parte superior): largura
e espessura . - Alma (haste vertical/“stem”): largura
e altura (situada sob a flange, centrada).
- Flange (parte superior): largura
- Observações geométricas úteis (da figura):
- Altura total da seção
. - A seção é simétrica em relação ao eixo vertical (eixo
da figura), mas a posição da força pode variar horizontalmente em (causando momento em torno do eixo horizontal da seção).
- Altura total da seção
- O que vamos calcular:
- Área total
da seção e localização do centróide vertical . - Momento de inércia da seção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide,
. - As distâncias
e do centróide até as fibras extremas. - A condição para que não haja tensão de tração (i.e., tensão mínima
), que leva a um limite máximo da excentricidade . \n
Não inicio a resolução aqui; isso começa no Passo 2.
- Área total
Passo 2
Calcular áreas parciais e área total
, e localizar o centróide vertical
(método das áreas).
- Fórmula do centróide composta: para duas partes
, onde é a área da parte e é a distância vertical do centroide dessa parte até uma origem escolhida. - Escolho como origem a base da alma (a face inferior da seção), medida para cima. Então:
- Alma:
. O centroide da alma está a da base. - Flange:
. O topo da alma fica a da base, então o centroide da flange está a .
- Alma:
- Área total:
- Coordenada do centróide:
Interpretação: o centróide fica a acima da base da alma (ou seja, a abaixo do topo).
Passo 3
Calcular o momento de inércia
da seção em torno do eixo horizontal que passa pelo centróide (eixo neutro). Vou usar a fórmula do momento de inércia para retângulos e o teorema dos eixos paralelos.
- Fórmula elemental (retângulo, com base
e altura , eixo pelo seu centro): - Teorema dos eixos paralelos (para deslocar de um eixo passando pelo centro da peça para o eixo neutro da seção):
onde é a distância entre os dois eixos. - Para a alma (stem):
-
, . - Momento de inércia em torno do centro da alma:
- Distância do centro da alma ao centróide da seção:
- Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
Calcular . Assim
-
- Para a flange:
-
, . - Momento de inércia em torno do centro da flange:
- Distância do centro da flange ao centróide da seção:
- Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
Calcular . Assim
-
- Momento de inércia total em torno do eixo neutro:
Passo 4
Determinar as distâncias às fibras extremas
e
e identificar a fibra crítica.
- Distância ao topo:
- Distância à base (fundo da alma):
- A fibra mais distante do eixo neutro é a inferior (base da alma), com
. Essa será a fibra que mais “sofre” com o momento e, portanto, a que mais facilmente entra em tração quando a excentricidade tem sinal que produz tração aí.
Passo 5
Escrever a condição para NÃO ocorrer tração (usar a fórmula da tensão normal por força excêntrica) e encontrar o limite máximo de
.
- Fórmula da tensão normal em uma seção sujeita a força axial
com momento (devido à excentricidade ): onde: -
é a tensão média de compressão (positiva aqui para compressão), -
é o momento externo (produto da força pela excentricidade ), -
é a distância da fibra considerada ao eixo neutro (aqui usaremos para as fibras extremas), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro.
-
- Para garantir que não haja tração em nenhuma fibra é necessário que a tensão mínima seja
. Considerando a fibra mais afastada (pior caso), a tensão mínima será (o sinal negativo aparece porque o momento reduz a compressão em uma das faces). - Exigir
e dividir por : Como a seção é simétrica lateralmente, o mesmo raciocínio vale para negativo (simetria de sinal). Assim a excentricidade deve satisfazer . - Substituir os valores numéricos:
Portanto
Passo 6
Interpretação final e resposta prática (motivação para prova).
- Significado físico: o conjunto dos pontos de aplicação da força cuja linha de ação fica dentro de um núcleo central (kernel) — aqui uma faixa simétrica ao redor do centróide com semi‑largura
— produz apenas compressão na seção. Se a força for deslocada mais que isso, aparecerá tração numa face. - Resultado numérico prático: a força vertical deve atuar a uma distância lateral
do eixo de centróide tal que para garantir ausência de tração.