Um duto não isolado de seção transversal quadrada de 0,2 \mathrm{~m} \times 0,2 \mathrm{~m}, 8 \mathrm{~m} de comprimento e rugosidade relativa de 10^{-3} atravessa o espaço do sótão de uma casa. 0 ar quente entra no duto a 1 atm e 80^{\circ} \mathrm{C} com vazão de 0,15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. A superfície do duto é quase isotérmica a 60^{\circ} \mathrm{C}. Determine
b) A diferença de pressão entre as seções de entrada e de saída do duto

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo que preciso usar está aqui):
  • Seção transversal do duto: 0{,}2\\ \mathrm{m}\times0{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do duto: L=8\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade relativa: \dfrac{\epsilon}{D_h}=10^{-3}.
  • Ar entrando a 1\\ \mathrm{atm} e 80^\circ\mathrm{C} com vazão volumétrica Q=0{,}15\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Temperatura da superfície do duto (quase isotérmica): 60^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • (b) A diferença de pressão entre as seções de entrada e saída do duto, isto é \Delta p = p_{\text{entrada}}-p_{\text{saída}}í.
Observação: não foi dada orientação vertical do duto nem perdas singulares, então vou calcular a perda de carga por atrito ao longo do comprimento (lembre: se o duto estiver nivelado, a perda de pressão entre entrada e saída é dominada pela perda por atrito). Vou usar as propriedades do ar na temperatura média entre o escoamento e a parede para avaliar densidade e viscosidade.

Passo 2

Calcular área da seção e velocidade média do ar (passo básico e necessário para Reynolds).
  • Área da seção:
A = 0{,}2\cdot0{,}2 = 0{,}04\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média: a partir de Q,
V = \dfrac{Q}{A} = \dfrac{0{,}15}{0{,}04} = 3{,}75\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: a vazão volumétrica Q relaciona-se com velocidade média V e área A por Q=VA. É a forma mais direta de encontrar V.

Passo 3

Calcular o diâmetro hidráulico do duto quadrado (para usar a fórmula de Darcy-Weisbach).
Para seção retangular/square, o diâmetro hidráulico é
D_h = \dfrac{4A}{P},
onde P é o perímetro molhado. Aqui A=0{,}04\\ \mathrm{m^2} e o perímetro P=4\times0{,}2=0{,}8\\ \mathrm{m}. Então
D_h = \dfrac{4\cdot0{,}04}{0{,}8} = 0{,}2\\ \mathrm{m}.
Comentário: para um quadrado, D_h acaba sendo igual ao lado, óbvio mas é bom confirmar.

Passo 4

Determinar a densidade do ar na condição média de temperatura usando a lei dos gases ideais.
  • Temperatura do ar de entrada: T_{\text{in}}=80^\circ\mathrm{C}=353{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura da parede: T_w=60^\circ\mathrm{C}=333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Tomamos a temperatura filme média \,T_f=\dfrac{T_{\text{in}}+T_w}{2}=343{,}15\\ \mathrm{K}.
Usando a equação dos gases ideais \,p=\rho R T, com p=1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} e R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
\rho = \dfrac{p}{R T_f} = \dfrac{101325}{287\cdot343{,}15}\approx 1{,}029\\ \mathrm{kg/m^3}.
Explicação: a densidade do ar diminui com a temperatura; é preciso usar Kelvin. Esta densidade será usada para Reynolds e para a cabeça dinâmica \tfrac{1}{2}\rho V^2.

Passo 5

Determinar a viscosidade dinâmica do ar à temperatura T_f (uso a lei de Sutherland para ficar num valor razoável).
A lei de Sutherland (forma prática) é
\mu = \mu_0\left(\dfrac{T}{T_0}\right)^{3/2}\dfrac{T_0+S}{T+S},
onde valores típicos para o ar são \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}. Aplicando para T=T_f=343{,}15\\ \mathrm{K},
\mu \approx 1{,}716\times10^{-5}\left(\dfrac{343{,}15}{273{,}15}\right)^{3/2}\dfrac{273{,}15+110{,}4}{343{,}15+110{,}4}\approx 2{,}043\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Comentário: a viscosidade do ar aumenta com a temperatura; esse valor é razoável para cerca de 70^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular o número de Reynolds para saber o regime de escoamento.
Definição:
\mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D_h}{\mu}.
Substituindo os números:
\mathrm{Re}=\dfrac{1{,}029\cdot 3{,}75\cdot 0{,}2}{2{,}043\times10^{-5}}\approx 3{,}78\times10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx3{,}8\times10^4 indica escoamento turbulento (normalmente \mathrm{Re}\gtrsim4000 é turbulento em tubos).

Passo 7

Determinar o fator de atrito f para o escoamento turbulento em duto rugoso. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação da equação de Colebrook), que é prática em provas:
f = \dfrac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D_h}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Dados: \dfrac{\epsilon}{D_h}=10^{-3}\Rightarrow \epsilon=10^{-3}D_h=10^{-3}\cdot0{,}2=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Calcule os termos:
\dfrac{\epsilon}{3{,}7D_h}=\dfrac{2{,}0\times10^{-4}}{3{,}7\cdot0{,}2}\approx 2{,}7027\times10^{-4},
\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx \dfrac{5{,}74}{(3{,}78\times10^{4})^{0{,}9}}\approx 4{,}38\times10^{-4}.
Somando e aplicando logaritmo,
\log_{10}\!\left(2{,}70\times10^{-4}+4{,}38\times10^{-4}\right)=\log_{10}(7{,}08\times10^{-4})\approx -3{,}149.
Assim
f \approx \dfrac{0{,}25}{(-3{,}149)^2}\approx 0{,}0252.
Explicação: f é adimensional e depende da rugosidade relativa e de \mathrm{Re}. Usei Swamee–Jain para evitar resolver implicitamente a equação de Colebrook.

Passo 8

Calcular a perda de carga por atrito ao longo do duto com a equação de Darcy–Weisbach:
\Delta p = f \dfrac{L}{D_h}\cdot \dfrac{\rho V^2}{2}.
Já temos f\approx0{,}0252, L/D_h=8/0{,}2=40, e a cabeça dinâmica
\dfrac{\rho V^2}{2} = \dfrac{1{,}029\cdot(3{,}75)^2}{2}\approx 7{,}233\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
\Delta p \approx 0{,}0252\cdot 40\cdot 7{,}233 \approx 7{,}30\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: isto é a diferença entre pressão na entrada e na saída por causa do atrito. É um valor pequeno comparado a 1\\ \mathrm{atm}, como costuma acontecer em dutos de baixa velocidade.

Passo 9

Verificação rápida de ordem de grandeza e comentário prático:
  • \Delta p\approx7{,}3\\ \mathrm{Pa} corresponde a \approx0{,}74\\ \mathrm{mm\\ H_2O} (pequíssima queda).
  • Se o enunciado exigisse incluir perdas singulares (curvas, entradas, grelhas), essas seriam somadas por termos K\cdot \tfrac{1}{2}\rho V^2. Aqui suponho só perda distribuída por atrito, conforme os dados fornecidos.

Resposta

\displaystyle p_{\text{entrada}}-p_{\text{saída}}\approx 7{,}3\\ \mathrm{Pa}í

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