Um duto não isolado de seção transversal quadrada de
de comprimento e rugosidade relativa de
atravessa o espaço do sótão de uma casa. 0 ar quente entra no duto a 1 atm e
com vazão de
. A superfície do duto é quase isotérmica a
. Determine
b) A diferença de pressão entre as seções de entrada e de saída do duto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo que preciso usar está aqui):
- Seção transversal do duto:
. - Comprimento do duto:
. - Rugosidade relativa:
. - Ar entrando a
e com vazão volumétrica . - Temperatura da superfície do duto (quase isotérmica):
.
O que o enunciado pede:
- (b) A diferença de pressão entre as seções de entrada e saída do duto, isto é
.
Observação: não foi dada orientação vertical do duto nem perdas singulares, então vou calcular a perda de carga por atrito ao longo do comprimento (lembre: se o duto estiver nivelado, a perda de pressão entre entrada e saída é dominada pela perda por atrito). Vou usar as propriedades do ar na temperatura média entre o escoamento e a parede para avaliar densidade e viscosidade.
Passo 2
Calcular área da seção e velocidade média do ar (passo básico e necessário para Reynolds).
- Área da seção:
- Velocidade média: a partir de
,
Explicação curta: a vazão volumétrica
relaciona-se com velocidade média
e área
por
. É a forma mais direta de encontrar
.
Passo 3
Calcular o diâmetro hidráulico do duto quadrado (para usar a fórmula de Darcy-Weisbach).
Para seção retangular/square, o diâmetro hidráulico é
Para seção retangular/square, o diâmetro hidráulico é
onde
é o perímetro molhado. Aqui
e o perímetro
. Então
Comentário: para um quadrado,
acaba sendo igual ao lado, óbvio mas é bom confirmar.
Passo 4
Determinar a densidade do ar na condição média de temperatura usando a lei dos gases ideais.
- Temperatura do ar de entrada:
. - Temperatura da parede:
. - Tomamos a temperatura filme média
Usando a equação dos gases ideais
, com
e
,
Explicação: a densidade do ar diminui com a temperatura; é preciso usar Kelvin. Esta densidade será usada para Reynolds e para a cabeça dinâmica
.
Passo 5
Determinar a viscosidade dinâmica do ar à temperatura
(uso a lei de Sutherland para ficar num valor razoável).
A lei de Sutherland (forma prática) é
A lei de Sutherland (forma prática) é
onde valores típicos para o ar são
em
e
. Aplicando para
,
Comentário: a viscosidade do ar aumenta com a temperatura; esse valor é razoável para cerca de
.
Passo 6
Calcular o número de Reynolds para saber o regime de escoamento.
Definição:
Definição:
Substituindo os números:
Interpretação:
indica escoamento turbulento (normalmente
é turbulento em tubos).
Passo 7
Determinar o fator de atrito
para o escoamento turbulento em duto rugoso. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação da equação de Colebrook), que é prática em provas:
Dados:
Calcule os termos:
Somando e aplicando logaritmo,
Assim
Explicação:
é adimensional e depende da rugosidade relativa e de
. Usei Swamee–Jain para evitar resolver implicitamente a equação de Colebrook.
Passo 8
Calcular a perda de carga por atrito ao longo do duto com a equação de Darcy–Weisbach:
Já temos
,
, e a cabeça dinâmica
Portanto
Interpretação: isto é a diferença entre pressão na entrada e na saída por causa do atrito. É um valor pequeno comparado a
, como costuma acontecer em dutos de baixa velocidade.
Passo 9
Verificação rápida de ordem de grandeza e comentário prático:
-
corresponde a (pequíssima queda). - Se o enunciado exigisse incluir perdas singulares (curvas, entradas, grelhas), essas seriam somadas por termos
. Aqui suponho só perda distribuída por atrito, conforme os dados fornecidos.