222 \mathrm{Se} 0 \leqslant \mathrm{x} \leqslant 2, determine o menor valor de x ,
\text { tal que }\left|\begin{array}{ccc} -\operatorname{sen} x & -8 & -5 \\ 0 & -\operatorname{sen} x & \operatorname{cotg} x \\ 0 & 0 & \cos x \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz triangular superior dependente de x no intervalo 0 \le x \le 2 e pede o menor valor de x tal que o determinante seja zero. Vamos usar o fato de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal principal.

Passo 2

Os elementos da diagonal principal são -\sin x, -\sin x e \cos x. Logo,
\det = (-\sin x)\cdot(-\sin x)\cdot(\cos x) = \sin^2(x)\,\cos(x).

Passo 3

Para que o determinante seja zero, basta que
\sin^2(x)\,\cos(x)=0,
ou seja, \sin(x)=0 ou \cos(x)=0.

Passo 4

Resolvendo em [0,2]:
  • \sin(x)=0 implica x=0 ou x=\pi. Como \pi\approx3{,}14>2, só vale x=0.
  • \cos(x)=0 implica x=\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}57, que está em [0,2].
Portanto, as soluções no intervalo são x=0 e x=\tfrac{\pi}{2}, e o menor valor é x=0.

Resposta

x = 0

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