221 \operatorname{Se} \mathrm{~A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right] e
f(x)=-x^{2}-x-1 \text {, calcule } f\left(-\frac{1}{\operatorname{det} A}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix}
e a função
f(x) = -x^{2} - x - 1,
e pede f\bigl(-1/\det A\bigr). Para isso, vamos (1) calcular \det A e depois (2) substituir na função.

Passo 2

Calcular \det A por expansão:
\det A = 2\cdot(1\cdot0 - 2\cdot(-1)) \;-\; 1\cdot(3\cdot0 - 2\cdot1) \;+\; 1\cdot\bigl(3\cdot(-1) - 1\cdot1\bigr).
Logo,
\det A = 2\cdot2 \;-\; 1\cdot(-2) \;+\; 1\cdot(-4) = 4 + 2 - 4 = 2.

Passo 3

Então
-\frac{1}{\det A} = -\frac{1}{2}.

Passo 4

Substituindo em f:
f\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr) = -\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2} -\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr) - 1 = -\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} - 1 = -\tfrac{3}{4}.

Resposta

-\frac{3}{4}.

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