23-56 Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=n sen(1 / n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência an = n senl(tfrac1nr). O conteúdo aqui é análise de limites de sequências e, em particular, uso do limite fundamental
limx to 0 sen xx = 1

Passo 2

Para explorar esse limite, note que, para n grande, o argumento tfrac1n de sen tende a zero. Podemos reescrever
an = n senl(tfrac1nr) = senl(tfrac1nr)tfrac1n
Definindo x = tfrac1n, temos x to 0 quando n to infty.

Passo 3

Usando o limite fundamental limxto 0sen xx=1, obtemos
limntoinfty an = limxto 0 sen xx = 1
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

Exercícios relacionados