• 23 Um bloco está em uma superfície horizontal (uma mesa oscilante) que se move horizontalmente para a frente e para trás em um movimento harmônico simples com uma frequência de 2,0 \mathrm{~Hz}. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é 0,50 . Qual o maior valor possível da amplitude do MHS para que o bloco não deslize pela superfície?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • Frequência do movimento harmônico simples da superfície: f=2,0\\ \mathrm{Hz}.
  • Coeficiente de atrito estático entre bloco e superfície: \mu_s=0,50.
  • A gravidade usarei como g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
    O que o problema pede:
  • Determinar o maior valor possível da amplitude do MHS da superfície para que o bloco NÃO deslize sobre ela.

Passo 2

Entendendo fisicamente o problema (de forma simples e direta).
  • A superfície oscila horizontalmente em MHS; isso significa que o bloco sobre ela precisa acelerar horizontalmente junto com a superfície para não deslizar.
  • A força que impede o bloco de escorregar é a força de atrito estático. Essa força tem um limite máximo dado por \mu_s multiplicado pela normal.
  • Logo, para o bloco não deslizar, a aceleração máxima da superfície (a mesma aceleração que o bloco precisa seguir) deve ser menor ou igual àquela que a força de atrito estática máxima pode produzir.

Passo 3

Matemática do movimento harmônico simples (MHS) que precisamos saber.
  • Em MHS, a posição em função do tempo pode ser escrita como \,x(t)=A\cos(\omega t)\,, onde:
    • A é a amplitude do movimento (o que queremos achar),
    • \omega é a frequência angular em rad/s.
  • A aceleração é a segunda derivada de x(t). Derivando: a(t)=\ddot{x}(t)=-A\omega^2\cos(\omega t).
  • Portanto o módulo da aceleração atinge o máximo em magnitude e vale a_{\max}=A\omega^2.
Expliquei cada símbolo: a_{\max} é a aceleração máxima (valor absoluto), A amplitude, \omega frequência angular.

Passo 4

Força de atrito estático máxima e condição para não deslizamento.
  • A força de atrito estático máxima é F_{f,\max}=\mu_s N,onde N é a força normal. Sobre uma superfície horizontal N=mg, então F_{f,\max}=\mu_s m g.
  • Para que o bloco não deslize, a força horizontal necessária para produzir a aceleração a_{\max} (que é m a_{\max}) deve ser menor ou igual a F_{f,\max}. Assim: m a_{\max}\le \mu_s m g.
  • Cancelando m (a massa do bloco não aparece no resultado), a_{\max}\le \mu_s g.

Passo 5

Relacionando a condição de atrito com o MHS para achar A_{\max}.
  • Temos a_{\max}=A\omega^2 (do Passo 3) e a condição a_{\max}\le\mu_s g (do Passo 4). Portanto A\omega^2 \le \mu_s g.
  • Isolando A, obtemos a amplitude máxima permitida: \boxed{A_{\max}=\dfrac{\mu_s g}{\omega^2}.}
  • Também lembrar que a frequência angular \omega relaciona-se com a frequência f por \omega=2\pi f.

Passo 6

Substituição numérica passo a passo (vou calcular \omega, \omega^2, \mu_s g e então A_{\max}).
  • Calcular \omega: \omega=2\pi f=2\pi\cdot 2,0=4\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 12,566\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular \omega^2: \omega^2=(4\pi)^2=16\pi^2\approx 157,914\\ \mathrm{(rad/s)^2}.
  • Calcular \mu_s g: \mu_s g=0,50\cdot 9,8=4,9\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Agora A_{\max}: A_{\max}=\dfrac{\mu_s g}{\omega^2}=\dfrac{4,9}{157,914}\\ \mathrm{m}\approx 0,03105\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento para resposta prática.
  • Em metros A_{\max}\approx 0,03105\\ \mathrm{m}. Em centímetros isso é A_{\max}\approx 3,105\\ \mathrm{cm}.
  • Considerando os algarismos significativos dos dados (frequência 2,0\\ \mathrm{Hz} e \mu_s=0,50), é apropriado dar a resposta com duas algarismos significativos: A_{\max}\approx 0,031\\ \mathrm{m}=3,1\\ \mathrm{cm}.
  • Motivação final: se a amplitude for maior que isso, a aceleração máxima excede \mu_s g e a força de atrito estático não conseguirá acelerar o bloco acompanhando a superfície, então o bloco desliza.

Resposta

A_{\max}=0,031\\ \mathrm{m} =3,1\\ \mathrm{cm}

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