- 23 Um bloco está em uma superfície horizontal (uma mesa oscilante) que se move horizontalmente para a frente e para trás em um movimento harmônico simples com uma frequência de
. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é 0,50 . Qual o maior valor possível da amplitude do MHS para que o bloco não deslize pela superfície?
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
- Frequência do movimento harmônico simples da superfície:
. - Coeficiente de atrito estático entre bloco e superfície:
. - A gravidade usarei como
(valor padrão).
O que o problema pede: - Determinar o maior valor possível da amplitude do MHS da superfície para que o bloco NÃO deslize sobre ela.
Passo 2
Entendendo fisicamente o problema (de forma simples e direta).
- A superfície oscila horizontalmente em MHS; isso significa que o bloco sobre ela precisa acelerar horizontalmente junto com a superfície para não deslizar.
- A força que impede o bloco de escorregar é a força de atrito estático. Essa força tem um limite máximo dado por
multiplicado pela normal. - Logo, para o bloco não deslizar, a aceleração máxima da superfície (a mesma aceleração que o bloco precisa seguir) deve ser menor ou igual àquela que a força de atrito estática máxima pode produzir.
Passo 3
Matemática do movimento harmônico simples (MHS) que precisamos saber.
- Em MHS, a posição em função do tempo pode ser escrita como
, onde: -
é a amplitude do movimento (o que queremos achar), -
é a frequência angular em rad/s.
-
- A aceleração é a segunda derivada de
. Derivando: - Portanto o módulo da aceleração atinge o máximo em magnitude e vale
Expliquei cada símbolo:
é a aceleração máxima (valor absoluto),
amplitude,
frequência angular.
Passo 4
Força de atrito estático máxima e condição para não deslizamento.
- A força de atrito estático máxima é
onde é a força normal. Sobre uma superfície horizontal , então - Para que o bloco não deslize, a força horizontal necessária para produzir a aceleração
(que é ) deve ser menor ou igual a . Assim: - Cancelando
(a massa do bloco não aparece no resultado),
Passo 5
Relacionando a condição de atrito com o MHS para achar
.
- Temos
(do Passo 3) e a condição (do Passo 4). Portanto - Isolando
, obtemos a amplitude máxima permitida: - Também lembrar que a frequência angular
relaciona-se com a frequência por
Passo 6
Substituição numérica passo a passo (vou calcular
,
,
e então
).
- Calcular
: - Calcular
: - Calcular
: - Agora
:
Passo 7
Interpretação final e arredondamento para resposta prática.
- Em metros
. Em centímetros isso é - Considerando os algarismos significativos dos dados (frequência
e ), é apropriado dar a resposta com duas algarismos significativos: - Motivação final: se a amplitude for maior que isso, a aceleração máxima excede
e a força de atrito estático não conseguirá acelerar o bloco acompanhando a superfície, então o bloco desliza.