A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é \mathrm{A}=6,98 \times 10^{22} \mathrm{~m}^{2}. Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol entre 0,0 \mathrm{~h} do dia 1^{\underline{\circ}} de abril até 24 h do dia 30 de abril do mesmo ano.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Informação dada: a área da elipse descrita pela Terra em torno do Sol é \mathrm{A}=6,98\times10^{22}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Intervalo de tempo pedido: desde 0{,}0\\ \mathrm{h} do dia 1^{\underline{\circ}} de abril até 24\\ \mathrm{h} do dia 30 de abril do mesmo ano.
  • Pergunta: qual a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol nesse intervalo?
Observação imediata (do enunciado): esse intervalo corresponde exatamente ao mês de abril inteiro, ou seja, 30 dias.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicadinho): a Segunda Lei de Kepler diz que o raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Em palavras simples: a área varrida é proporcional ao tempo transcorrido. Portanto, se a Terra descreve a área total \mathrm{A} em um ano inteiro, a área varrida em um intervalo de tempo t é a fração do ano correspondente a t.
Definições das variáveis que vamos usar:
  • \mathrm{A} = área total da órbita (fornecida) = 6,98\times10^{22}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • A_{\text{varrida}} = área varrida no intervalo que queremos calcular.
  • t = duração do intervalo pedido (em unidades compatíveis com o ano).
  • T = período orbital da Terra = 1\\ \text{ano}. Para este exercício vamos tomar T=365\\ \text{dias} (assumimos ano comum; o efeito de ano bissexto é desprezível para o propósito do cálculo).
Fórmula (direta do princípio):
A_{\text{varrida}}=\mathrm{A}\cdot\frac{t}{T}.

Passo 3

Calcular t na mesma unidade que T.
O intervalo é de 0{,}0\\ \mathrm{h} do dia 1 de abril até 24\\ \mathrm{h} do dia 30 de abril, que é exatamente 30 dias. Assim:
t=30\\ \text{dias},\qquad T=365\\ \text{dias}.
Podemos simplificar a fração:
\frac{t}{T}=\frac{30}{365}=\frac{6}{73}.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores numéricos.
Começando com a expressão exacta:
A_{\text{varrida}}=\mathrm{A}\cdot\frac{6}{73}.
Substituindo \mathrm{A}=6{,}98\times10^{22}\\ \mathrm{m}^{2}:
A_{\text{varrida}}=\left(6{,}98\times10^{22}\right)\cdot\frac{6}{73}.
Calcule passo a passo:
6{,}98\times6=41{,}88,
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A_{\text{varrida}}=\frac{41{,}88}{73}\times10^{22}\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora a divisão:
\frac{41{,}88}{73}\approx0{,}5734246575.
Portanto
A_{\text{varrida}}\approx0{,}5734246575\times10^{22}\\ \mathrm{m}^{2}=5{,}734246575\times10^{21}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Arredondamento e apresentação final: considerando que o dado inicial \mathrm{A}=6{,}98\times10^{22} tem três algarismos significativos, é razoável apresentar a resposta com três algarismos significativos:
A_{\text{varrida}}\approx5{,}73\times10^{21}\\ \mathrm{m}^{2}.
Força aí — é só aplicar a ideia: área proporcional ao tempo; pega a fração do ano e multiplica pela área total. Fácil de decorar e aplicar na prova!

Resposta

5{,}73\times10^{21}\\ \mathrm{m}^{2}

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