18 Em um ancoradouro, as marés fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma distância d (do nível mais alto ao nível mais baixo) em um movimento harmônico simples com um período de 12,5 \mathrm{~h}. Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de 0,250 d a partir do nível mais alto?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que peguei do enunciado):
  • A oscilação vertical da superfície do oceano tem amplitude total (do mais alto ao mais baixo) igual a d.
  • O período da oscilação é T = 12,5\\ \mathrm{h}.
  • A condição inicial é “a partir do nível mais alto” (ou seja, começamos no ponto de máxima subida).
  • A pergunta: quanto tempo leva para que a água desça uma distância igual a 0,250\,d a partir do nível mais alto?

Passo 2

Entender a representação matemática do movimento (fórmula usada aqui).
  • Para uma oscilação periódica simétrica em torno de um nível médio, a posição vertical x(t) em função do tempo pode ser descrita por
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • x(t) é a posição instantânea medida a partir do nível médio (equilíbrio);
  • A é a amplitude (valor máximo da deslocamento a partir do equilíbrio);
  • \omega é a frequência angular, relacionada ao período por \omega=\dfrac{2\pi}{T};
  • \varphi é a fase inicial (determina onde a oscilação começa no instante t=0).
    Explicando em palavras: essa fórmula diz que a posição varia como um cosseno multiplicado pela amplitude; o cosseno varia entre -1 e +1, então x(t) varia entre -A e +A.

Passo 3

Determinar a amplitude A a partir do dado d.
  • O enunciado diz que do nível mais alto ao mais baixo a distância é d. Isso significa que a oscilação vai de +A até -A, ou seja, a diferença é 2A=d.
  • Logo,
A=\dfrac{d}{2}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial “a partir do nível mais alto” para fixar a fase.
  • Se no instante t=0 estamos no nível mais alto, isso significa x(0)=+A.
  • Pela fórmula \,x(0)=A\cos(\varphi)\,, temos A\cos(\varphi)=A, portanto \cos(\varphi)=1 e assim podemos tomar \varphi=0.
  • Com isso a equação da posição fica
x(t)=A\cos(\omega t).

Passo 5

Expressar a condição “descer uma distância 0,250\,d a partir do nível mais alto” em termos de x(t).
  • Partimos do nível mais alto, que vale x=+A.
  • Descer uma distância 0,250\,d significa atingir a posição
x = A - 0,250\,d.
  • Substituindo A=\dfrac{d}{2} obtemos
x = \dfrac{d}{2} - 0,250\,d = \dfrac{d}{2} - \dfrac{d}{4} = \dfrac{d}{4}.
  • Em relação à amplitude A, isso é
x = \dfrac{d}{4} = \dfrac{1}{2}\,A.
Portanto queremos o primeiro instante t>0 tal que x(t)=\dfrac{A}{2}.

Passo 6

Resolver a equação temporal para encontrar t.
  • Pegando a expressão x(t)=A\cos(\omega t) e igualando a A/2:
A\cos(\omega t)=\dfrac{A}{2}.
  • Dividindo por A (não nulo),
\cos(\omega t)=\dfrac{1}{2}.
  • A solução principal (o primeiro instante positivo em que o cosseno vale 1/2) é
\omega t = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}.
  • Como \omega=\dfrac{2\pi}{T}, temos
t = \dfrac{\pi/3}{\omega} = \dfrac{\pi/3}{2\pi/T} = \dfrac{T}{6}.

Passo 7

Calcular numericamente usando T=12,5\\ \mathrm{h}.
  • Substituindo,
t=\dfrac{12,5}{6}\\ \mathrm{h} = 2,08333\ldots\\ \mathrm{h}.
  • Converter a parte fracionária para minutos:
    • A parte inteira é 2 horas;
    • A parte fracionária 0,08333\ldots\\ \mathrm{h} multiplicada por 60 5 minutos, pois
0,08333\ldots\times 60 = 5.
  • Portanto o tempo é 2\\ \mathrm{h}\\\ 5\\ \mathrm{min}, ou 125 minutos.

Passo 8

Comentário final rápido e incentivo (dica para a prova).
  • Método geral: quando começar no máximo use x(t)=A\cos(\omega t); para atingir uma fração qualquer da amplitude basta resolver \cos(\omega t)= (essa fração). Em muitos problemas de maré e pêndulos isso resulta em ângulos conhecidos como \pi/3,\\ \pi/2,\\ \pi/6 etc., o que dá frações simples do período.
  • Vai dar tudo certo — respira fundo e aplica essa receita passo a passo na prova.

Resposta

t=\dfrac{T}{6}=\dfrac{12,5}{6}\\ \mathrm{h}=2,08333\ldots\\ \mathrm{h}=2\\ \mathrm{h}\\\ 5\\ \mathrm{min}

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