18 Em um ancoradouro, as marés fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma distância
(do nível mais alto ao nível mais baixo) em um movimento harmônico simples com um período de
. Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de
a partir do nível mais alto?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que peguei do enunciado):
- A oscilação vertical da superfície do oceano tem amplitude total (do mais alto ao mais baixo) igual a
. - O período da oscilação é
. - A condição inicial é “a partir do nível mais alto” (ou seja, começamos no ponto de máxima subida).
- A pergunta: quanto tempo leva para que a água desça uma distância igual a
a partir do nível mais alto?
Passo 2
Entender a representação matemática do movimento (fórmula usada aqui).
- Para uma oscilação periódica simétrica em torno de um nível médio, a posição vertical
em função do tempo pode ser descrita por
onde:
-
é a posição instantânea medida a partir do nível médio (equilíbrio); -
é a amplitude (valor máximo da deslocamento a partir do equilíbrio); -
é a frequência angular, relacionada ao período por ; -
é a fase inicial (determina onde a oscilação começa no instante ).
Explicando em palavras: essa fórmula diz que a posição varia como um cosseno multiplicado pela amplitude; o cosseno varia entree , então varia entre e .
Passo 3
Determinar a amplitude
a partir do dado
.
- O enunciado diz que do nível mais alto ao mais baixo a distância é
. Isso significa que a oscilação vai de até , ou seja, a diferença é . - Logo,
Passo 4
Aplicar a condição inicial “a partir do nível mais alto” para fixar a fase.
- Se no instante
estamos no nível mais alto, isso significa . - Pela fórmula
, temos , portanto e assim podemos tomar . - Com isso a equação da posição fica
Passo 5
Expressar a condição “descer uma distância
a partir do nível mais alto” em termos de
.
- Partimos do nível mais alto, que vale
. - Descer uma distância
significa atingir a posição
- Substituindo
obtemos
- Em relação à amplitude
, isso é
Portanto queremos o primeiro instante
tal que
.
Passo 6
Resolver a equação temporal para encontrar
.
- Pegando a expressão
e igualando a :
- Dividindo por
(não nulo),
- A solução principal (o primeiro instante positivo em que o cosseno vale
) é
- Como
, temos
Passo 7
Calcular numericamente usando
.
- Substituindo,
- Converter a parte fracionária para minutos:
- A parte inteira é
horas; - A parte fracionária
multiplicada por dá minutos, pois
- A parte inteira é
- Portanto o tempo é
, ou minutos.
Passo 8
Comentário final rápido e incentivo (dica para a prova).
- Método geral: quando começar no máximo use
; para atingir uma fração qualquer da amplitude basta resolver (essa fração). Em muitos problemas de maré e pêndulos isso resulta em ângulos conhecidos como etc., o que dá frações simples do período. - Vai dar tudo certo — respira fundo e aplica essa receita passo a passo na prova.