- 2.23 Em condições atmosféricas normais, a temperatura do ar diminui com o aumento da elevação.
Entretanto, em algumas ocasiões, pode ocorrer uma inversão térmica e a temperatura pode crescer com o aumento da elevação. A próxima tabela mostra um conjunto de dados experimentais da temperatura do ar em função da elevação obtidos com sensores instalados numa montanha. Sabendo que a pressão na base da montanha é igual a
(abs), determine a pressão atmosférica no cume da montanha. Utilize um procedimento numérico de integração para resolver o problema.
Elevação (m)
Temperatura (
)
1524 (base)
10,1
1676
12,9
1829
15,7
1951
17,0
2164
19,4
2256
20,2
2500
21,1
2621
20,8
2804
20,0
3017 (cume)
19.5
| Elevação (m) | Temperatura (
|
| 1524 (base) | 10,1 |
| 1676 | 12,9 |
| 1829 | 15,7 |
| 1951 | 17,0 |
| 2164 | 19,4 |
| 2256 | 20,2 |
| 2500 | 21,1 |
| 2621 | 20,8 |
| 2804 | 20,0 |
| 3017 (cume) | 19.5 |
Passo 1
O enunciado pede para determinar a pressão atmosférica no cume da montanha, sabendo que a pressão na base é
(absoluta), e que a temperatura do ar varia com a elevação conforme a tabela. Peguei esses números da tabela fornecida:
- Pressão na base:
- Elevações e temperaturas (peguei todos estes pares da tabela):
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
(cume),
-
O que o problema pede: calcular
a partir de
, usando um procedimento numérico de integração (ou seja, integrar numericamente a equação que governa a variação da pressão com a altura, usando os dados de temperatura).
Passo 2
Vamos montar a equação física que liga pressão, densidade e temperatura — passo a passo e sem pular etapas.
- Hidrostática: em equilíbrio vertical a pressão varia com a elevação segundo a equação de hidrostática
onde
-
é a pressão absoluta em função da elevação , -
é a densidade do ar em , -
é a aceleração da gravidade (vou usar ).
- Equação do gás ideal para ar seco (relaciona
):
onde
-
é a constante específica do ar seco (constante dos gases dividida pela massa molar do ar), -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Explicando: a equação diz que para um gás ideal a pressão é proporcional à densidade e à temperatura absoluta. Para ar seco usamos
(unidade
).
- Substituindo
na equação de hidrostática obtemos uma equação apenas em e :
- Reescrevendo em forma separável:
Isto é importantíssimo: integrando dos limites base
até cume
obtemos
Portanto a pressão no cume é
Essa é a fórmula que vamos usar. Note: tudo depende da integral de
ao longo da elevação — por isso precisamos integrar numericamente, já que temos somente valores discretos de
.
Passo 3
Escolha de constantes numéricas e conversões — explicando o porquê:
- Vou usar
(valor padrão). - Para
(constante específica do ar) uso o valor padrão aproximado
Explicação curta:
, com
e massa molar média do ar
; isso dá
.
- Fator multiplicador que aparece na integral:
Vamos calcular
numericamente:
(Interpretação: em cada metro, o logaritmo da pressão muda aproximadamente por
.)
- Antes de integrar, é preciso converter as temperaturas da tabela de
para kelvin pela relação
Passo 4
Converter a tabela de temperaturas para kelvin (peguei as temperaturas da tabela original):
Explicando: transformar para kelvin é obrigatório porque a equação do gás ideal usa temperatura absoluta; não se pode integrar com graus Celsius.
Passo 5
Escolha do método numérico: regra do trapézio (trapezoidal rule).
Explicando didaticamente: a integral que queremos é
Com dados discretos em pontos
podemos aproximar a integral somando a contribuição de cada intervalo
pelo trapézio:
Somando todos os intervalos:
Justificativa prática: o trapézio interpola linearmente a função
entre pontos consecutivos; é simples, estável e adequado quando se tem muitos pontos (aqui temos 10).
Passo 6
Calcular numericamente cada contribuição do trapézio. Primeiro vou calcular o fator
e depois, para cada intervalo, o termo
Os intervalos e os cálculos (usei as temperaturas em kelvin obtidas no passo anterior; todos os números de elevação e temperatura foram pegos da tabela):
- Constante:
Agora calculo cada intervalo (apresento o
,
,
, a média de
e o
):
- Intervalo
a : .
-
Intervalo
a : . -
Intervalo
a : . -
Intervalo
a : . -
Intervalo
a : . -
Intervalo
a : . -
Intervalo
a : . -
Intervalo
a : . -
Intervalo
a : .
Observação: cada
foi obtido aplicando a fórmula direta com os números acima; mantive 5–6 casas significativas intermediárias para evitar perda numérica. Esses cálculos são a mesma ideia que se faz numa prova com calculadora: multiplicar
,
e a média de
para cada intervalo.
Passo 7
Somar as contribuições para obter a variação total do logaritmo da pressão:
Somando os valores (detalhe aritmético):
Isto significa que
Passo 8
Agora recuperamos
:
Calcule
. Assim
Interpretação rápida e encorajamento: o ar fica mais rarefeito subindo a montanha; a pressão diminuiu de
para cerca de
. O procedimento usado (integrar
ao longo da altura com regra do trapézio) é exatamente o que se pede num exame quando só há dados discretos de temperatura.
Resposta
70,2 kPa