• 2.23 Em condições atmosféricas normais, a temperatura do ar diminui com o aumento da elevação.
Entretanto, em algumas ocasiões, pode ocorrer uma inversão térmica e a temperatura pode crescer com o aumento da elevação. A próxima tabela mostra um conjunto de dados experimentais da temperatura do ar em função da elevação obtidos com sensores instalados numa montanha. Sabendo que a pressão na base da montanha é igual a 83,6 \mathrm{kPa} (abs), determine a pressão atmosférica no cume da montanha. Utilize um procedimento numérico de integração para resolver o problema.
Elevação (m) Temperatura ( { }^{\circ} \mathrm{C} )
1524 (base) 10,1
1676 12,9
1829 15,7
1951 17,0
2164 19,4
2256 20,2
2500 21,1
2621 20,8
2804 20,0
3017 (cume) 19.5

Passo 1

O enunciado pede para determinar a pressão atmosférica no cume da montanha, sabendo que a pressão na base é \,83{,}6\\ \mathrm{kPa}\, (absoluta), e que a temperatura do ar varia com a elevação conforme a tabela. Peguei esses números da tabela fornecida:
  • Pressão na base: \,p_{\text{base}} = 83{,}6\\ \mathrm{kPa}.
  • Elevações e temperaturas (peguei todos estes pares da tabela):
    • \,z_1 = 1524\\ \mathrm{m},\\ T_1 = 10{,}1\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_2 = 1676\\ \mathrm{m},\\ T_2 = 12{,}9\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_3 = 1829\\ \mathrm{m},\\ T_3 = 15{,}7\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_4 = 1951\\ \mathrm{m},\\ T_4 = 17{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_5 = 2164\\ \mathrm{m},\\ T_5 = 19{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_6 = 2256\\ \mathrm{m},\\ T_6 = 20{,}2\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_7 = 2500\\ \mathrm{m},\\ T_7 = 21{,}1\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_8 = 2621\\ \mathrm{m},\\ T_8 = 20{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_9 = 2804\\ \mathrm{m},\\ T_9 = 20{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • \,z_{10} = 3017\\ \mathrm{m} (cume), T_{10} = 19{,}5\\ ^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede: calcular \,p_{\text{cume}} = p(z_{10}) a partir de \,p_{\text{base}} = p(z_1), usando um procedimento numérico de integração (ou seja, integrar numericamente a equação que governa a variação da pressão com a altura, usando os dados de temperatura).

Passo 2

Vamos montar a equação física que liga pressão, densidade e temperatura — passo a passo e sem pular etapas.
  1. Hidrostática: em equilíbrio vertical a pressão varia com a elevação segundo a equação de hidrostática
\frac{dp}{dz} = -\rho(z)\,g,
onde
  • p(z) é a pressão absoluta em função da elevação z,
  • \rho(z) é a densidade do ar em z,
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar \,g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}).
  1. Equação do gás ideal para ar seco (relaciona p,\rho,T):
p = \rho R_{\text{d}} T,
onde
  • R_{\text{d}} é a constante específica do ar seco (constante dos gases \,R dividida pela massa molar do ar),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Explicando: a equação diz que para um gás ideal a pressão é proporcional à densidade e à temperatura absoluta. Para ar seco usamos R_{\text{d}} (unidade \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
  1. Substituindo \rho = p/(R_{\text{d}} T) na equação de hidrostática obtemos uma equação apenas em p e T:
\frac{dp}{dz} = -\frac{p}{R_{\text{d}} T(z)}\,g.
  1. Reescrevendo em forma separável:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{\text{d}}}\,\frac{1}{T(z)}\,dz.
Isto é importantíssimo: integrando dos limites base \,z_1 até cume \,z_{10} obtemos
\ln\!\left(\frac{p(z_{10})}{p(z_1)}\right) = -\frac{g}{R_{\text{d}}}\int_{z_1}^{z_{10}} \frac{1}{T(z)}\,dz.
Portanto a pressão no cume é
p(z_{10}) = p(z_1)\,\exp\!\left(-\frac{g}{R_{\text{d}}}\int_{z_1}^{z_{10}} \frac{1}{T(z)}\,dz\right).
Essa é a fórmula que vamos usar. Note: tudo depende da integral de 1/T(z) ao longo da elevação — por isso precisamos integrar numericamente, já que temos somente valores discretos de T.

Passo 3

Escolha de constantes numéricas e conversões — explicando o porquê:
  • Vou usar \,g = 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • Para \,R_{\text{d}} (constante específica do ar) uso o valor padrão aproximado
R_{\text{d}} \approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Explicação curta: R_{\text{d}} = R/M, com R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e massa molar média do ar M\approx 0{,}0289644\\ \mathrm{kg/mol}; isso dá \approx 287{,}05.
  • Fator multiplicador que aparece na integral:
k \equiv \frac{g}{R_{\text{d}}}.
Vamos calcular k numericamente:
k = \frac{9{,}80665}{287{,}05}\approx 0{,}034170\\ \mathrm{K^{-1}\,m^{-1}}.
(Interpretação: em cada metro, o logaritmo da pressão muda aproximadamente por -k/T.)
  • Antes de integrar, é preciso converter as temperaturas da tabela de {}^\circ\mathrm{C} para kelvin pela relação \,T(\mathrm{K}) = T({}^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.

Passo 4

Converter a tabela de temperaturas para kelvin (peguei as temperaturas da tabela original):
  • \,T_1 = 10{,}1^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_1 = 10{,}1 + 273{,}15 = 283{,}25\\ \mathrm{K}.
  • \,T_2 = 12{,}9^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_2 = 286{,}05\\ \mathrm{K}.
  • \,T_3 = 15{,}7^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_3 = 288{,}85\\ \mathrm{K}.
  • \,T_4 = 17{,}0^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_4 = 290{,}15\\ \mathrm{K}.
  • \,T_5 = 19{,}4^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_5 = 292{,}55\\ \mathrm{K}.
  • \,T_6 = 20{,}2^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_6 = 293{,}35\\ \mathrm{K}.
  • \,T_7 = 21{,}1^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_7 = 294{,}25\\ \mathrm{K}.
  • \,T_8 = 20{,}8^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_8 = 293{,}95\\ \mathrm{K}.
  • \,T_9 = 20{,}0^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_9 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • \,T_{10} = 19{,}5^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{10} = 292{,}65\\ \mathrm{K}.
Explicando: transformar para kelvin é obrigatório porque a equação do gás ideal usa temperatura absoluta; não se pode integrar com graus Celsius.

Passo 5

Escolha do método numérico: regra do trapézio (trapezoidal rule).
Explicando didaticamente: a integral que queremos é
I \equiv \int_{z_1}^{z_{10}} \frac{1}{T(z)}\,dz.
Com dados discretos em pontos (z_i,T_i) podemos aproximar a integral somando a contribuição de cada intervalo [z_i,z_{i+1}] pelo trapézio:
\int_{z_i}^{z_{i+1}} \frac{1}{T(z)}\,dz \approx (z_{i+1}-z_i)\,\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{T_i}+\frac{1}{T_{i+1}}\right).
Somando todos os intervalos:
I \approx \sum_{i=1}^{9} (z_{i+1}-z_i)\,\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{T_i}+\frac{1}{T_{i+1}}\right).
Justificativa prática: o trapézio interpola linearmente a função 1/T(z) entre pontos consecutivos; é simples, estável e adequado quando se tem muitos pontos (aqui temos 10).

Passo 6

Calcular numericamente cada contribuição do trapézio. Primeiro vou calcular o fator k e depois, para cada intervalo, o termo
\Delta (\ln p)_i \equiv -k\,(z_{i+1}-z_i)\,\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{T_i}+\frac{1}{T_{i+1}}\right).
Os intervalos e os cálculos (usei as temperaturas em kelvin obtidas no passo anterior; todos os números de elevação e temperatura foram pegos da tabela):
  • Constante: k = \frac{g}{R_{\text{d}}} \approx \frac{9{,}80665}{287{,}05} \approx 0{,}034170.
Agora calculo cada intervalo (apresento o z_i, z_{i+1}, \Delta z, a média de 1/T e o \Delta(\ln p)_i):
  1. Intervalo z_1=1524 a z_2=1676: \Delta z = 152. \frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}\right) \approx 0{,}00351345,
\Delta(\ln p)_1 \approx -0{,}034170\times 152 \times 0{,}00351345 \approx -0{,}018248.
  1. Intervalo 1676 a 1829: \Delta z = 153.
    \text{média }1/T \approx 0{,}00347851,\qquad \Delta(\ln p)_2 \approx -0{,}018193.é
  2. Intervalo 1829 a 1951: \Delta z = 122.
    \text{média }1/T \approx 0{,}00345313,\qquad \Delta(\ln p)_3 \approx -0{,}014396.é
  3. Intervalo 1951 a 2164: \Delta z = 213.
    \text{média }1/T \approx 0{,}00343163,\qquad \Delta(\ln p)_4 \approx -0{,}024977.é
  4. Intervalo 2164 a 2256: \Delta z = 92.
    \text{média }1/T \approx 0{,}00341362,\qquad \Delta(\ln p)_5 \approx -0{,}010731.é
  5. Intervalo 2256 a 2500: \Delta z = 244.
    \text{média }1/T \approx 0{,}00340418,\qquad \Delta(\ln p)_6 \approx -0{,}028382.é
  6. Intervalo 2500 a 2621: \Delta z = 121.
    \text{média }1/T \approx 0{,}00339995,\qquad \Delta(\ln p)_7 \approx -0{,}014059.é
  7. Intervalo 2621 a 2804: \Delta z = 183.
    \text{média }1/T \approx 0{,}00340584,\qquad \Delta(\ln p)_8 \approx -0{,}021295.é
  8. Intervalo 2804 a 3017: \Delta z = 213.
    \text{média }1/T \approx 0{,}00341417,\qquad \Delta(\ln p)_9 \approx -0{,}024848.é
Observação: cada \Delta(\ln p)_i foi obtido aplicando a fórmula direta com os números acima; mantive 5–6 casas significativas intermediárias para evitar perda numérica. Esses cálculos são a mesma ideia que se faz numa prova com calculadora: multiplicar \,k, \Delta z e a média de 1/T para cada intervalo.

Passo 7

Somar as contribuições para obter a variação total do logaritmo da pressão:
\Delta \ln p = \sum_{i=1}^{9} \Delta(\ln p)_i \approx -(0{,}018248+0{,}018193+0{,}014396+0{,}024977+0{,}010731+0{,}028382+0{,}014059+0{,}021295+0{,}024848).
Somando os valores (detalhe aritmético):
\Delta \ln p \approx -0{,}175129.
Isto significa que
\ln\!\left(\frac{p_{\text{cume}}}{p_{\text{base}}}\right) \approx -0{,}175129.

Passo 8

Agora recuperamos p_{\text{cume}}:
p_{\text{cume}} = p_{\text{base}} \exp(\Delta \ln p) = 83{,}6\\ \mathrm{kPa}\times \exp(-0{,}175129).
Calcule \exp(-0{,}175129)\approx 0{,}8395. Assim
p_{\text{cume}} \approx 83{,}6\times 0{,}8395 \approx 70{,}2\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação rápida e encorajamento: o ar fica mais rarefeito subindo a montanha; a pressão diminuiu de \,83{,}6\\ \mathrm{kPa} para cerca de \,70{,}2\\ \mathrm{kPa}. O procedimento usado (integrar -g/(R_{\text{d}}T) ao longo da altura com regra do trapézio) é exatamente o que se pede num exame quando só há dados discretos de temperatura.

Resposta

70,2 kPa

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