2.21 A Eq. 2.12 é uma relação entre a pressão e a elevação válida nas regiões onde a temperatura varia linearmente com a elevação. Derive esta equação e verifique o valor da pressão fornecido na Tab. C1 do Apêndice para uma elevação de 5 km .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) derivar a relação entre pressão e elevação válida quando a temperatura varia linearmente com a altura (ou seja, obter a chamada Eq. 2.12) e (2) usar essa relação para verificar o valor da pressão para uma elevação de 5\\ \text{km} comparando com a Tab. C1 do apêndice.
Informações dadas/assumidas (padrões usados aqui):
  • pressão ao nível de referência (sea level): p_0 = 101325\\ \text{Pa};
  • temperatura ao nível de referência: T_0 = 288{,}15\\ \text{K};
  • variação linear da temperatura com a elevação (lapse rate): T(z)=T_0 - L z com L positivo (nos troposfera padrão L=0{,}0065\\ \text{K}\,\text{m}^{-1});
  • aceleração da gravidade aproximada constante: g = 9{,}80665\\ \text{m}\,\text{s}^{-2};
  • constante dos gases para o ar seco: R = 287{,}05\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
O que vamos derivar: uma expressão p(z) em termos de p_0, T_0, L, g, R e z, válida enquanto a temperatura varia linearmente com z.

Passo 2

Começo pela condição de equilíbrio hidrostático, que é a base física aqui. Ela diz que a variação vertical da pressão equilibra o peso da coluna de ar:
\frac{dp}{dz} = -\rho\, g.
Explicando: p(z) é a pressão no nível z, \rho(z) é a densidade do ar nesse nível e g é a gravidade. Essa equação vem de considerar uma lâmina de ar de área unitária e altura dz: a força peso é \rho g\,dz e isso tem que ser igual à diferença de pressão nas faces.

Passo 3

Relaciono pressão e densidade pela equação dos gases ideais para o ar (por unidade de massa):
p = \rho\, R\, T,
onde R é a constante específica do ar e T é a temperatura absoluta em kelvin. Desse modo,
\rho = \frac{p}{R\,T}.

Passo 4

Substituo \rho da equação de estado na equação hidrostática:
\frac{dp}{dz} = -\frac{p}{R\,T}\,g.
Reorganizando:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R}\,\frac{1}{T}\,dz.
Isto é uma equação separável: os termos em p de um lado e os termos em z do outro.

Passo 5

Agora uso a hipótese do enunciado: temperatura varia linearmente com z,
T(z)=T_0 - L z,
com L>0. Substituindo na equação separada:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R}\,\frac{1}{T_0 - L z}\,dz.
Integro ambos os lados entre o nível de referência (onde z=0 e p=p_0) e um nível arbitrário z (onde p=p(z)):
\int_{p_0}^{p(z)} \frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R}\int_{0}^{z} \frac{1}{T_0 - L z'}\,dz'.
A integral do lado esquerdo é \ln\!\left(\dfrac{p(z)}{p_0}\right). A do lado direito é conhecida: \int \dfrac{dz'}{T_0 - L z'} = -\dfrac{1}{L}\ln(T_0 - L z'). Portanto
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_0}\right) = -\frac{g}{R}\left[-\frac{1}{L}\ln\!\big(T_0 - L z\big) + \frac{1}{L}\ln\!\big(T_0\big)\right].
Simplificando sinais e logs:
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_0}\right)=\frac{g}{R L}\,\ln\!\left(\frac{T_0 - L z}{T_0}\right).

Passo 6

Exponencio para obter p(z):
p(z)=p_0\left(\frac{T_0 - L z}{T_0}\right)^{\frac{g}{R L}}.
Podemos reescrever com T(z)=T_0 - L z como
\boxed{\,p(z)=p_0\left(\dfrac{T(z)}{T_0}\right)^{\frac{g}{R L}}\,}
Essa é a Eq. 2.12 procurada (relação entre p e z quando T decresce linearmente com z).
Observação didática rápida: se L\to 0 (temperatura praticamente constante), a potência g/(R L) tende a infinito mas o termo \left(T(z)/T_0\right)^{g/(R L)} tende ao limite exponencial e recupera a lei barométrica isoterma
p(z)=p_0\exp\!\left(-\frac{g z}{R T_0}\right).
(Isto pode ser verificado fazendo T(z)=T_0(1 - L z/T_0) e usando \lim_{L\to0}(1 - L z/T_0)^{g/(R L)} = \exp(-g z/(R T_0)).)

Passo 7

Agora verifico numericamente a pressão para z=5\\ \text{km}. Primeiro calculo a temperatura a 5\\ \text{km}:
T(5000)=T_0 - L z = 288{,}15 - 0{,}0065\times 5000 = 288{,}15 - 32{,}5 = 255{,}65\\ \text{K}.
Expliquei: usei L=0{,}0065\\ \text{K}\,\text{m}^{-1} e z=5000\\ \text{m}.

Passo 8

Calculo o expoente numérico
\frac{g}{R L} = \frac{9{,}80665}{287{,}05\times 0{,}0065}\approx 5{,}255877.
Agora aplico a fórmula:
p(5000)=101325\left(\frac{255{,}65}{288{,}15}\right)^{5{,}255877}.
Faço via logaritmo para facilitar a conta:
\ln\!\left(\frac{p(5000)}{101325}\right)=5{,}255877\cdot\ln\!\left(\frac{255{,}65}{288{,}15}\right).
Calculando \ln\!\left(\tfrac{255{,}65}{288{,}15}\right)\approx -0{,}1196297. Multiplicando:
\ln\!\left(\frac{p(5000)}{101325}\right)\approx -0{,}629005,
portanto
\frac{p(5000)}{101325}\approx e^{-0{,}629005}\approx 0{,}533515,
e finalmente
p(5000)\approx 101325\times 0{,}533515 \approx 54019\\ \text{Pa} \approx 54{,}019\\ \text{kPa}.

Passo 9

Interpretação/checagem: o valor obtido, p(5\\ \text{km})\approx 54019\\ \text{Pa}, é o valor padrão da atmosfera para 5 km (é o mesmo valor que aparece em tabelas de atmosfera padrão, como a Tab. C1 do apêndice). Assim a Eq. 2.12 foi derivada e o cálculo verifica o valor tabulado.

Resposta

p(z)=p_0\left(\dfrac{T(z)}{T_0}\right)^{\frac{g}{R L}}
p(5\\ \text{km})\approx 54019\\ \text{Pa}\\ \\ (\approx 54{,}02\\ \text{kPa})

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