2.21 A Eq. 2.12 é uma relação entre a pressão e a elevação válida nas regiões onde a temperatura varia linearmente com a elevação. Derive esta equação e verifique o valor da pressão fornecido na Tab. C1 do Apêndice para uma elevação de 5 km .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) derivar a relação entre pressão e elevação válida quando a temperatura varia linearmente com a altura (ou seja, obter a chamada Eq. 2.12) e (2) usar essa relação para verificar o valor da pressão para uma elevação de
comparando com a Tab. C1 do apêndice.
Informações dadas/assumidas (padrões usados aqui):
- pressão ao nível de referência (sea level):
; - temperatura ao nível de referência:
; - variação linear da temperatura com a elevação (lapse rate):
com positivo (nos troposfera padrão ); - aceleração da gravidade aproximada constante:
; - constante dos gases para o ar seco:
.
O que vamos derivar: uma expressão
em termos de
,
,
,
,
e
, válida enquanto a temperatura varia linearmente com
.
Passo 2
Começo pela condição de equilíbrio hidrostático, que é a base física aqui. Ela diz que a variação vertical da pressão equilibra o peso da coluna de ar:
Explicando:
é a pressão no nível
,
é a densidade do ar nesse nível e
é a gravidade. Essa equação vem de considerar uma lâmina de ar de área unitária e altura
: a força peso é
e isso tem que ser igual à diferença de pressão nas faces.
Passo 3
Relaciono pressão e densidade pela equação dos gases ideais para o ar (por unidade de massa):
onde
é a constante específica do ar e
é a temperatura absoluta em kelvin. Desse modo,
Passo 4
Substituo
da equação de estado na equação hidrostática:
Reorganizando:
Isto é uma equação separável: os termos em
de um lado e os termos em
do outro.
Passo 5
Agora uso a hipótese do enunciado: temperatura varia linearmente com
,
com
. Substituindo na equação separada:
Integro ambos os lados entre o nível de referência (onde
e
) e um nível arbitrário
(onde
):
A integral do lado esquerdo é
. A do lado direito é conhecida:
. Portanto
Simplificando sinais e logs:
Passo 6
Exponencio para obter
:
Podemos reescrever com
como
Essa é a Eq. 2.12 procurada (relação entre
e
quando
decresce linearmente com
).
Observação didática rápida: se
(temperatura praticamente constante), a potência
tende a infinito mas o termo
tende ao limite exponencial e recupera a lei barométrica isoterma
(Isto pode ser verificado fazendo
e usando
.)
Passo 7
Agora verifico numericamente a pressão para
. Primeiro calculo a temperatura a
:
Expliquei: usei
e
.
Passo 8
Calculo o expoente numérico
Agora aplico a fórmula:
Faço via logaritmo para facilitar a conta:
Calculando
. Multiplicando:
portanto
e finalmente
Passo 9
Interpretação/checagem: o valor obtido,
, é o valor padrão da atmosfera para 5 km (é o mesmo valor que aparece em tabelas de atmosfera padrão, como a Tab. C1 do apêndice). Assim a Eq. 2.12 foi derivada e o cálculo verifica o valor tabulado.