8.23 Dado o campo
: (
) determine a densidade de corrente J; (b) integre J sobre a superfície circular
para determinar a corrente total que passa através dessa superfície na direção
; (c) determine a corrente total mais uma vez, mas desta vez pela integral de linha em torno do caminho circular
.
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede).
- Dado o campo magnético (campo
)
- O enunciado pede:
(a) determinar a densidade de corrente;
(b) integrarsobre a superfície circular indicada para achar a corrente total que passa através dessa superfície na direção ;
(c) determinar a mesma corrente total usando a integral de linha ao longo do caminho circular.
Observações de interpretação (esclarecendo símbolos ambíguos): vou interpretar
(versor azimutal) e
(versor axial). Também vou interpretar a “superfície circular” como o disco de raio
no plano
, ou seja, a região descrita por
. Se no seu enunciado esses símbolos significarem outra coisa, a conta muda; aqui sigo essas interpretações para poder resolver.
Passo 2
Qual relação usar para obter
e explicação do conceito (aula rápida).
- Em magnetostática (regime estacionário), a lei de Ampère na forma diferencial relaciona o rotacional de
com a densidade de corrente livre :
Explicando:
é a corrente por unidade de área (unidade
). O operador
(rotacional ou curl) mede a tendência do campo
“girar” localmente; onde o rotacional é não nulo, existe corrente.
- Para aplicar concretamente precisamos da expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas
. Se
então os componentes do rotacional são (fórmula padrão em cilíndricas):
Aqui cada
é a componente do campo na direção do versor
. Essas fórmulas vêm da definição do rotacional em coordenadas curvilíneas; basta lembrar que os versores dependem de
, por isso aparecem fatores
em alguns termos.
Passo 3
Aplicando a fórmula para obter
passo a passo.
- Identificamos as componentes do campo dado: como interpretei
,
- Calcule cada componente do rotacional usando as fórmulas do passo anterior:
- Componente
:
pois
e
não depende de
.
- Componente
:
pois
e
.
- Componente
:
Como
, o segundo termo é zero. Então
Derivando:
portanto
- Juntando as componentes:
Ou de forma limpa:
Comentário curto e amigo: então a densidade de corrente aponta na direção
e cresce linearmente com
. Legal, né? Significa que, quanto mais longe do eixo, maior a corrente por unidade de área atravessando discos transversais.
Passo 4
Calculando a corrente total através do disco
por integração de
sobre a superfície. (a segunda forma pedida no enunciado — parte b).
- A corrente que atravessa uma superfície
com normal unitário é
Para o disco no plano
com orientação na direção positiva de
, temos
. Assim
-
O elemento de área em coordenadas cilíndricas é
. Então o integrando fica . -
Montamos a integral com os limites
de a e de a :
Calcule a integral interna:
Agora integrar em
:
Logo a corrente total que atravessa o disco no sentido
é
Passo 5
Calcule a mesma corrente usando a integral de linha ao redor do contorno circular
(parte c). Explicando a teoria usada.
- A forma integral da lei de Ampère (na forma usada em magnetostática sem deslocamento de campo elétrico variável) diz que a corrente livre encaixada é dada por
onde
é o contorno que limita a superfície considerada, e
é o elemento de linha tangente ao contorno.
- Para o contorno circular de raio
no plano o elemento de linha é
e com
isso fica
.
- No contorno temos
e, em ,
Logo o produto escalar
- Integrando
de a :
Observação final: as duas formas (integral de superfície de
e integral de linha de
) deram o mesmo resultado conforme a lei de Ampère exige — bom sinal de consistência.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)