8.23 Dado o campo \mathbf{H}=20 \rho^{2} \mathbf{a}_{b} \mathrm{~A} / \mathrm{m} : ( a ) determine a densidade de corrente J; (b) integre J sobre a superfície circular p=1,0<\varphi<2 \pi, z=0 para determinar a corrente total que passa através dessa superfície na direção \mathbf{a}_{j}; (c) determine a corrente total mais uma vez, mas desta vez pela integral de linha em torno do caminho circular p=1,0<\varphi<2 \pi, z=0.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede).
  • Dado o campo magnético (campo \mathbf{H})
\mathbf{H}=20\,\rho^{2}\,\mathbf{a}_{b}\\ \text{A/m}.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a densidade de corrente \mathbf{J};
    (b) integrar \mathbf{J} sobre a superfície circular indicada para achar a corrente total que passa através dessa superfície na direção \mathbf{a}_{j};
    (c) determinar a mesma corrente total usando a integral de linha ao longo do caminho circular \rho=1,\;0<\varphi<2\pi,\;z=0.
Observações de interpretação (esclarecendo símbolos ambíguos): vou interpretar \mathbf{a}_{b}=\mathbf{a}_{\varphi} (versor azimutal) e \mathbf{a}_{j}=\mathbf{a}_{z} (versor axial). Também vou interpretar a “superfície circular” como o disco de raio \rho=1 no plano z=0, ou seja, a região descrita por 0\le\rho\le1,\;0\le\varphi\le2\pi,\;z=0. Se no seu enunciado esses símbolos significarem outra coisa, a conta muda; aqui sigo essas interpretações para poder resolver.

Passo 2

Qual relação usar para obter \mathbf{J} e explicação do conceito (aula rápida).
  • Em magnetostática (regime estacionário), a lei de Ampère na forma diferencial relaciona o rotacional de \mathbf{H} com a densidade de corrente livre \mathbf{J}:
\mathbf{J}=\nabla\times\mathbf{H}.
Explicando: \mathbf{J} é a corrente por unidade de área (unidade \text{A/m}^2). O operador \nabla\times (rotacional ou curl) mede a tendência do campo \mathbf{H} “girar” localmente; onde o rotacional é não nulo, existe corrente.
  • Para aplicar concretamente precisamos da expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z). Se
\mathbf{H}=H_{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}+H_{\varphi}\,\mathbf{a}_{\varphi}+H_{z}\,\mathbf{a}_{z},
então os componentes do rotacional são (fórmula padrão em cilíndricas):
(\nabla\times\mathbf{H})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial z}(\,H_{\varphi}\,),
(\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi}=\frac{\partial H_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial\rho},
(\nabla\times\mathbf{H})_{z}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho H_{\varphi}\big)-\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{\rho}}{\partial\varphi}.
Aqui cada H_{\alpha} é a componente do campo na direção do versor \mathbf{a}_{\alpha}. Essas fórmulas vêm da definição do rotacional em coordenadas curvilíneas; basta lembrar que os versores dependem de \varphi, por isso aparecem fatores \rho em alguns termos.

Passo 3

Aplicando a fórmula para obter \mathbf{J}=\nabla\times\mathbf{H} passo a passo.
  • Identificamos as componentes do campo dado: como interpretei \mathbf{a}_{b}=\mathbf{a}_{\varphi},
H_{\rho}=0,\qquad H_{\varphi}=20\,\rho^{2},\qquad H_{z}=0.
  • Calcule cada componente do rotacional usando as fórmulas do passo anterior:
  1. Componente \rho:
(\nabla\times\mathbf{H})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial z}(H_{\varphi})=\frac{1}{\rho}\cdot0-\frac{\partial}{\partial z}(20\rho^{2})=0,
pois H_{z}=0 e H_{\varphi} não depende de z.
  1. Componente \varphi:
(\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi}=\frac{\partial H_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial\rho}=0-0=0,
pois H_{\rho}=0 e H_{z}=0.
  1. Componente z:
(\nabla\times\mathbf{H})_{z}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho H_{\varphi}\big)-\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{\rho}}{\partial\varphi}.
Como H_{\rho}=0, o segundo termo é zero. Então
(\nabla\times\mathbf{H})_{z}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho\cdot 20\rho^{2}\big)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(20\rho^{3}\big).
Derivando:
\frac{\partial}{\partial\rho}\big(20\rho^{3}\big)=60\rho^{2},
portanto
(\nabla\times\mathbf{H})_{z}=\frac{1}{\rho}\cdot 60\rho^{2}=60\rho.
  • Juntando as componentes:
\mathbf{J}=\nabla\times\mathbf{H}=0\cdot\mathbf{a}_{\rho}+0\cdot\mathbf{a}_{\varphi}+60\rho\cdot\mathbf{a}_{z}.
Ou de forma limpa:
\mathbf{J}=60\,\rho\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{A/m}^{2}.
Comentário curto e amigo: então a densidade de corrente aponta na direção z e cresce linearmente com \rho. Legal, né? Significa que, quanto mais longe do eixo, maior a corrente por unidade de área atravessando discos transversais.

Passo 4

Calculando a corrente total através do disco (0\le\rho\le1,\;0\le\varphi\le2\pi,\;z=0) por integração de \mathbf{J} sobre a superfície. (a segunda forma pedida no enunciado — parte b).
  • A corrente que atravessa uma superfície S com normal unitário \mathbf{n} é
I=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Para o disco no plano z=0 com orientação na direção positiva de z, temos \mathbf{n}=\mathbf{a}_{z}. Assim
\mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_{z}=60\rho.
  • O elemento de área em coordenadas cilíndricas é dS=\rho\,d\rho\,d\varphi. Então o integrando fica 60\rho\cdot\rho\,d\rho\,d\varphi=60\rho^{2}\,d\rho\,d\varphi.
  • Montamos a integral com os limites \rho de 0 a 1 e \varphi de 0 a 2\pi:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}60\rho^{2}\,d\rho\,d\varphi.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{1}60\rho^{2}\,d\rho=60\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=60\cdot\frac{1}{3}=20.
Agora integrar em \varphi:
I=\int_{0}^{2\pi}20\,d\varphi=20\cdot 2\pi=40\pi.
Logo a corrente total que atravessa o disco no sentido \mathbf{a}_{z} é
I=40\pi\\ \text{A}.

Passo 5

Calcule a mesma corrente usando a integral de linha ao redor do contorno circular \rho=1,\;0\le\varphi\le2\pi,\;z=0 (parte c). Explicando a teoria usada.
  • A forma integral da lei de Ampère (na forma usada em magnetostática sem deslocamento de campo elétrico variável) diz que a corrente livre encaixada é dada por
I_{\text{enc}}=\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l},
onde C é o contorno que limita a superfície considerada, e d\mathbf{l} é o elemento de linha tangente ao contorno.
  • Para o contorno circular de raio \rho=1 no plano z=0 o elemento de linha é
d\mathbf{l}=\rho\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi},
e com \rho=1 isso fica d\mathbf{l}=1\cdot d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}=d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}.
  • No contorno temos H_{\varphi}=20\rho^{2} e, em \rho=1,
\mathbf{H}=20\cdot 1^{2}\,\mathbf{a}_{\varphi}=20\,\mathbf{a}_{\varphi}.
Logo o produto escalar
\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=20\,\mathbf{a}_{\varphi}\cdot(d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi})=20\,d\varphi.
  • Integrando \varphi de 0 a 2\pi:
I_{\text{enc}}=\int_{0}^{2\pi}20\,d\varphi=20\cdot 2\pi=40\pi\\ \text{A}.
Observação final: as duas formas (integral de superfície de \mathbf{J} e integral de linha de \mathbf{H}) deram o mesmo resultado conforme a lei de Ampère exige — bom sinal de consistência.

Resposta

(a) \mathbf{J}=60\,\rho\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{A/m}^{2}
(b) I=40\pi\\ \text{A}
(c) I=40\pi\\ \text{A}

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