Problema 1.3 Uma câmera cilindrica está orientada com o seu eixo central ao longo do eixo y em sistema de coordenadas x y z. A face de cima da câmera é um pistão que pode deslizar para cima e para baixo, mudando o volume da câmera. A câmera está inicialmente preenchida com um gás monoatômico ideal. Quando a temperatuda da câmara diminui, o pistão desliza lentamente para baixo com uma velocidade constante até que o volume da câmera seja um quinto de seu volume inicial. Neste instante, a contração para com o gás assumindo um estado de esquilíbrio. (a) Por qual fator a raiz da velocidade quadrática média das partículas muda durante essa contração? A velocidade aumenta ou diminui? (b) Por qual fator a energia térmica do gás muda
durante a contração? A energia aumenta ou diminui?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações do enunciado:
    • A câmara é cilíndrica com um pistão móvel que muda o volume.
    • A câmara está inicialmente preenchida com um gás monoatômico ideal.
    • A temperatura do gás diminui e, enquanto isso, o pistão desliza lentamente para baixo com velocidade constante até que o volume final seja um quinto do volume inicial.
    • No final da contração o gás atinge um estado de equilíbrio (ou seja, a dinâmica pára).
    • Dados numéricos relevantes: V_{\text{f}} = \tfrac{1}{5}V_{\text{i}} (volume final é um quinto do inicial).
  • Perguntas pedidas:
    (a) Por qual fator a raiz da velocidade quadrática média das partículas (velocidade rms) muda durante essa contração? A velocidade aumenta ou diminui?
    (b) Por qual fator a energia térmica do gás muda durante a contração? A energia aumenta ou diminui?

Passo 2

Entendendo o que acontece mecanicamente (por que podemos relacionar T e V):
  • O pistão desliza “lentamente” e a câmara chega a um novo equilíbrio. Isso indica que o processo é quasi‑estático do ponto de vista mecânico: a pressão interna do gás acompanha a pressão externa de modo que, durante todo o movimento lento, o pistão está praticamente em equilíbrio (sem saltos de pressão).
  • Se a pressão externa é constante (pressão atmosférica) e o pistão responde livremente, então a pressão do gás na câmara se mantém igual à pressão externa durante o processo. Assim, assumimos que a pressão do gás é efetivamente constante durante a compressão lenta.
  • Então, podemos usar a Lei dos Gases Ideais para relacionar pressão, volume e temperatura:
pV = nRT,
onde
  • p é a pressão do gás,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols (constante durante o processo, pois não há troca de partículas),
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
  • Como assumimos p= constante, da lei dos gases segue que a temperatura é proporcional ao volume:
\frac{T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}=\frac{V_{\text{f}}}{V_{\text{i}}}.
Substituindo o dado do enunciado V_{\text{f}}=\tfrac{1}{5}V_{\text{i}} obtemos
\frac{T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}=\frac{1}{5}.
Portanto a temperatura final é um quinto da temperatura inicial.

Passo 3

Ligação entre temperatura e velocidade quadrática média (rms):
  • Pela teoria cinética dos gases, a energia cinética média por partícula está relacionada à temperatura. A relação fundamental é
\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT,
onde
  • m é a massa de uma partícula (molécula) do gás,
  • \overline{v^2} é a média do quadrado da velocidade das partículas,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura absoluta.
  • A raiz da velocidade quadrática média (velocidade rms) é definida como
v_{\text{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}.
Também podemos escrever em termos da massa molar M e da constante dos gases R:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
mas a dependência importante é v_{\text{rms}}\propto\sqrt{T}.
  • Como v_{\text{rms}} depende de T por raiz quadrada, a razão entre a velocidade rms final e inicial é
\frac{v_{\text{rms,f}}}{v_{\text{rms,i}}}=\sqrt{\frac{T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}.
Substituindo \dfrac{T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}=\dfrac{1}{5} obtemos
\frac{v_{\text{rms,f}}}{v_{\text{rms,i}}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
  • Conclusão: a velocidade rms diminui por um fator \tfrac{1}{\sqrt{5}} (ou seja, fica \approx 0{,}447 vezes o valor inicial).

Passo 4

Ligação entre temperatura e energia térmica interna para gás monoatômico:
  • Para um gás ideal monoatômico, a energia interna total U depende apenas da temperatura e vale
U=\frac{3}{2}nRT,
onde n e R já foram definidos antes. Essa fórmula vem do fato de que cada mol de gás monoatômico tem energia interna molar \tfrac{3}{2}RT (três graus de liberdade transacionais).
  • Assim, a razão das energias internas final e inicial é igual à razão das temperaturas:
\frac{U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}=\frac{T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}.
Já vimos que \dfrac{T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}=\dfrac{1}{5}, logo
\frac{U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}=\frac{1}{5}.
  • Conclusão: a energia térmica (energia interna) diminui por um fator \tfrac{1}{5}.

Resposta

(a) A raiz da velocidade quadrática média muda por um fator \dfrac{1}{\sqrt{5}}. Diminui.
(b) A energia térmica do gás muda por um fator \dfrac{1}{5}. Diminui.

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