Um bloco de massa
desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo com o piso de um elevador. Ache a aceleração do bloco relativa ao plano nos seguintes casos: (a) o elevador desce com velocidade constante
. (b) O elevador sobe com velocidade constante
. (c) O elevador desce com aceleração a. (d) O elevador desce com desaceleração
. (e) O cabo do elevador se rompe. (f) No item (c) acima, qual é a força exercida sobre o bloco pelo plano inclinado?
Resposta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado dá: um bloco de massa
está sobre um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo
com o piso do elevador. Precisamos achar a aceleração do bloco relativa ao plano (ou seja, medida no referencial do elevador) nos casos:
(a) o elevador desce com velocidade constante ;
(b) o elevador sobe com velocidade constante ;
(c) o elevador desce com aceleração ;
(d) o elevador desce com desaceleração ;
(e) o cabo do elevador se rompe (queda livre);
(f) além disso, no item (c) devemos achar a força exercida pelo plano sobre o bloco (normal ).
(a) o elevador desce com velocidade constante
(b) o elevador sobe com velocidade constante
(c) o elevador desce com aceleração
(d) o elevador desce com desaceleração
(e) o cabo do elevador se rompe (queda livre);
(f) além disso, no item (c) devemos achar a força exercida pelo plano sobre o bloco (normal
Informações relevantes dadas: massa
, ângulo
, acelerações/velocidades do elevador conforme cada item, ausência de atrito.
Passo 2
Estratégia de solução (explicação dos conceitos que vou usar, passo a passo didático):
- Queremos a aceleração do bloco relativa ao plano, então é natural trabalhar no referencial do elevador (o plano está em repouso nesse referencial). Quando o referencial do elevador é inercial (velocidade constante), as leis de Newton valem sem correções. Quando o referencial é não-inercial (acelera), precisamos adicionar uma força inercial (força fictícia) sobre o bloco igual a
, onde é a aceleração do elevador medida no referencial inercial. Essa força fictícia tem direção oposta à aceleração do elevador e módulo . - Forças reais sobre o bloco: peso
(vertical para baixo) e força normal perpendicular ao plano. Não há atrito. - Vou escolher um sistema de eixos convenientes: o eixo
ao longo do plano, apontando para baixo ao longo do plano (direção em que o bloco tende a deslizar quando há peso), e o eixo perpendicular ao plano, apontando para fora do plano. Sempre decomponho as forças nesses eixos. - Fórmula básica usada: segunda lei de Newton no referencial considerado:
onde é a aceleração do bloco relativa ao plano (eixo ). Se estivermos em referencial não-inercial, incluímos a força fictícia nas somas. - Lembrete de decomposição do peso: em relação ao plano inclinado,
vou relembrar rapidamente por que: o ângulo entre a vertical e a normal ao plano é
, e projetando vetorialmente obtemos essas componentes (vai aparecer nas contas).
Agora aplico isso caso a caso.
Passo 3
Caso (a): elevador desce com velocidade constante
.
- Velocidade constante do elevador significa que o referencial do elevador é inercial (aceleração do elevador é zero), então não há força fictícia.
- Forças ao longo do plano: apenas a componente do peso para baixo do plano
. - Pela segunda lei (somando forças ao longo do plano, positiva para baixo do plano):
- Cancelando
obtemos:
Passo 4
Caso (b): elevador sobe com velocidade constante
.
- Novamente velocidade constante => aceleracão do elevador é zero => referencial inercial => sem força fictícia.
- Situação física do bloco em relação ao plano é identica ao caso (a): apenas o peso age em direção vertical.
- Repetindo o cálculo:
Passo 5
Caso (c): elevador desce com aceleração
.
- Agora o elevador acelera para baixo com aceleração
. No referencial do elevador há uma força fictícia sobre o bloco com módulo apontando para cima (oposta ao movimento do referencial), ou seja, a força fictícia é vertical para cima de módulo . - Combine forças verticais reais e fictícias antes de projetar no plano: o peso é
para baixo e a força fictícia é para cima; o efeito líquido vertical (isto é, a “gravidade efetiva”) tem módulo e aponta para baixo (assumindo ). - Assim podemos pensar que, no referencial do elevador, o bloco sofre uma “gravidade efetiva” igual a
direcionada para baixo. - Projeção ao longo do plano: a componente ao longo do plano da gravidade efetiva é
para baixo do plano. - Aplicando segunda lei ao longo do plano:
- Cancelando
:
Observação prática: se
o bloco fica em “flutuação” (sem aceleração relativa); se
a expressão fica negativa, o que indica que, no referencial do elevador, a tendência seria do bloco acelerar para cima do plano (situação física em que o elevador “puxa” o bloco para cima relativamente ao plano).
Passo 6
Caso (d): elevador desce com desaceleração
.
- "Desce com desaceleração
" significa que o elevador está se movendo para baixo, mas sua velocidade está diminuindo; geometricamente isso quer dizer que a aceleração do elevador é para cima com magnitude . Portanto aponta para cima. - Força fictícia no referencial do elevador é
, ou seja, aponta para baixo e tem módulo . Isso soma ao peso (que também aponta para baixo), produzindo uma gravidade efetiva maior: para baixo. - Componente ao longo do plano da gravidade efetiva:
para baixo do plano. - Pela segunda lei ao longo do plano:
logo
Passo 7
Caso (e): cabo do elevador se rompe (queda livre).
- Quando o cabo se rompe, o elevador entra em queda livre, acelerando para baixo com aceleração
. Então é para baixo com módulo . - Força fictícia no referencial do elevador tem módulo
e aponta para cima; ela cancela exatamente o peso que aponta para baixo. Assim a gravidade efetiva no elevador é zero. - Sem gravidade efetiva não há componente ao longo do plano que empurre o bloco; a força normal também será zero (não há pressão sobre o plano).
- Portanto a aceleração do bloco relativa ao plano é
Física-intuitiva: o bloco e o plano caem juntos, não há relativa escorregamento (se não houvesse outras perturbações iniciais).
Passo 8
Item (f): força normal
no item (c) (elevador desce com aceleração
).
- Voltamos ao caso (c), onde a gravidade efetiva vale
para baixo. - Na direção perpendicular ao plano (eixo
) não há movimento do bloco (ele não se afunda nem voa para fora do plano), logo a soma das forças nessa direção deve ser zero no referencial do elevador: Aqui é a componente perpendicular da gravidade efetiva (peguei a componente perpendicular projetando numa direção perpendicular ao plano). - Portanto,
Comentário físico: se
então
(o bloco perde contato). Se
o valor fica negativo na fórmula, o que indica que, na prática, o bloco se separaria do plano e a expressão deixa de ser válida (pois a normal não pode puxar o bloco).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)