Um bloco de massa m desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo com o piso de um elevador. Ache a aceleração do bloco relativa ao plano nos seguintes casos: (a) o elevador desce com velocidade constante v. (b) O elevador sobe com velocidade constante v. (c) O elevador desce com aceleração a. (d) O elevador desce com desaceleração a. (e) O cabo do elevador se rompe. (f) No item (c) acima, qual é a força exercida sobre o bloco pelo plano inclinado?

Resposta:

(a) a=g \operatorname{sen} \theta
(b)
a=g \operatorname{sen} \theta
(c) a=(g-a) \operatorname{sen} \theta
(d) a=(g+a) \operatorname{sen} \theta
(e) a=0
(f) N=m(g-a) \cos \theta

Passo 1

O enunciado dá: um bloco de massa \;m\; está sobre um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo \;\theta\; com o piso do elevador. Precisamos achar a aceleração do bloco relativa ao plano (ou seja, medida no referencial do elevador) nos casos:
(a) o elevador desce com velocidade constante v;
(b) o elevador sobe com velocidade constante v;
(c) o elevador desce com aceleração a;
(d) o elevador desce com desaceleração a;
(e) o cabo do elevador se rompe (queda livre);
(f) além disso, no item (c) devemos achar a força exercida pelo plano sobre o bloco (normal N).
Informações relevantes dadas: massa \;m\;, ângulo \;\theta\;, acelerações/velocidades do elevador conforme cada item, ausência de atrito.

Passo 2

Estratégia de solução (explicação dos conceitos que vou usar, passo a passo didático):
  • Queremos a aceleração do bloco relativa ao plano, então é natural trabalhar no referencial do elevador (o plano está em repouso nesse referencial). Quando o referencial do elevador é inercial (velocidade constante), as leis de Newton valem sem correções. Quando o referencial é não-inercial (acelera), precisamos adicionar uma força inercial (força fictícia) sobre o bloco igual a -m\vec a_{\text{quadro}}, onde \vec a_{\text{quadro}} é a aceleração do elevador medida no referencial inercial. Essa força fictícia tem direção oposta à aceleração do elevador e módulo m a_{\text{quadro}}.
  • Forças reais sobre o bloco: peso \;m\vec g\; (vertical para baixo) e força normal \;\vec N\; perpendicular ao plano. Não há atrito.
  • Vou escolher um sistema de eixos convenientes: o eixo x ao longo do plano, apontando para baixo ao longo do plano (direção em que o bloco tende a deslizar quando há peso), e o eixo y perpendicular ao plano, apontando para fora do plano. Sempre decomponho as forças nesses eixos.
  • Fórmula básica usada: segunda lei de Newton no referencial considerado: \sum F_x = m a_{\text{rel}}onde a_{\text{rel}} é a aceleração do bloco relativa ao plano (eixo x). Se estivermos em referencial não-inercial, incluímos a força fictícia nas somas.
  • Lembrete de decomposição do peso: em relação ao plano inclinado, \text{componente do peso ao longo do plano} = m g \sin\theta
\text{componente do peso perpendicular ao plano} = m g \cos\theta
vou relembrar rapidamente por que: o ângulo entre a vertical e a normal ao plano é 90^\circ-\theta, e projetando vetorialmente obtemos essas componentes (vai aparecer nas contas).
Agora aplico isso caso a caso.

Passo 3

Caso (a): elevador desce com velocidade constante v.
  • Velocidade constante do elevador significa que o referencial do elevador é inercial (aceleração do elevador é zero), então não há força fictícia.
  • Forças ao longo do plano: apenas a componente do peso para baixo do plano m g \sin\theta.
  • Pela segunda lei (somando forças ao longo do plano, positiva para baixo do plano): m a_{\text{rel}} = m g \sin\theta.
  • Cancelando m obtemos: a_{\text{rel}} = g \sin\theta.

Passo 4

Caso (b): elevador sobe com velocidade constante v.
  • Novamente velocidade constante => aceleracão do elevador é zero => referencial inercial => sem força fictícia.
  • Situação física do bloco em relação ao plano é identica ao caso (a): apenas o peso age em direção vertical.
  • Repetindo o cálculo: m a_{\text{rel}} = m g \sin\theta \quad\Rightarrow\quad a_{\text{rel}} = g \sin\theta.

Passo 5

Caso (c): elevador desce com aceleração a.
  • Agora o elevador acelera para baixo com aceleração \;a\;. No referencial do elevador há uma força fictícia sobre o bloco com módulo m a apontando para cima (oposta ao movimento do referencial), ou seja, a força fictícia é vertical para cima de módulo m a.
  • Combine forças verticais reais e fictícias antes de projetar no plano: o peso é \;m g\; para baixo e a força fictícia é \;m a\; para cima; o efeito líquido vertical (isto é, a “gravidade efetiva”) tem módulo m(g-a) e aponta para baixo (assumindo g>a).
  • Assim podemos pensar que, no referencial do elevador, o bloco sofre uma “gravidade efetiva” igual a g_{\text{ef}} = g-a direcionada para baixo.
  • Projeção ao longo do plano: a componente ao longo do plano da gravidade efetiva é m(g-a)\sin\theta para baixo do plano.
  • Aplicando segunda lei ao longo do plano: m a_{\text{rel}} = m (g-a) \sin\theta.
  • Cancelando m: a_{\text{rel}} = (g-a)\sin\theta.
Observação prática: se \;a=g\; o bloco fica em “flutuação” (sem aceleração relativa); se \;a>g\; a expressão fica negativa, o que indica que, no referencial do elevador, a tendência seria do bloco acelerar para cima do plano (situação física em que o elevador “puxa” o bloco para cima relativamente ao plano).

Passo 6

Caso (d): elevador desce com desaceleração a.
  • "Desce com desaceleração a" significa que o elevador está se movendo para baixo, mas sua velocidade está diminuindo; geometricamente isso quer dizer que a aceleração do elevador é para cima com magnitude a. Portanto \vec a_{\text{quadro}} aponta para cima.
  • Força fictícia no referencial do elevador é -m\vec a_{\text{quadro}}, ou seja, aponta para baixo e tem módulo m a. Isso soma ao peso (que também aponta para baixo), produzindo uma gravidade efetiva maior: m(g+a) para baixo.
  • Componente ao longo do plano da gravidade efetiva: m(g+a)\sin\thetapara baixo do plano.
  • Pela segunda lei ao longo do plano: m a_{\text{rel}} = m (g+a)\sin\thetalogo a_{\text{rel}} = (g+a)\sin\theta.

Passo 7

Caso (e): cabo do elevador se rompe (queda livre).
  • Quando o cabo se rompe, o elevador entra em queda livre, acelerando para baixo com aceleração \;g\;. Então \vec a_{\text{quadro}} é para baixo com módulo g.
  • Força fictícia no referencial do elevador tem módulo m g e aponta para cima; ela cancela exatamente o peso \;m g\; que aponta para baixo. Assim a gravidade efetiva no elevador é zero.
  • Sem gravidade efetiva não há componente ao longo do plano que empurre o bloco; a força normal também será zero (não há pressão sobre o plano).
  • Portanto a aceleração do bloco relativa ao plano é a_{\text{rel}} = 0.Física-intuitiva: o bloco e o plano caem juntos, não há relativa escorregamento (se não houvesse outras perturbações iniciais).

Passo 8

Item (f): força normal N no item (c) (elevador desce com aceleração a).
  • Voltamos ao caso (c), onde a gravidade efetiva vale m(g-a) para baixo.
  • Na direção perpendicular ao plano (eixo y) não há movimento do bloco (ele não se afunda nem voa para fora do plano), logo a soma das forças nessa direção deve ser zero no referencial do elevador: N - \bigl(m(g-a)\cos\theta\bigr) = 0.Aqui \;m(g-a)\cos\theta\; é a componente perpendicular da gravidade efetiva (peguei a componente perpendicular projetando m(g-a) numa direção perpendicular ao plano).
  • Portanto, N = m(g-a)\cos\theta.
Comentário físico: se \;a\to g\; então N\to 0 (o bloco perde contato). Se \;a>g\; o valor fica negativo na fórmula, o que indica que, na prática, o bloco se separaria do plano e a expressão deixa de ser válida (pois a normal não pode puxar o bloco).

Resposta

(a) a = g \sin\theta
(b) a = g \sin\theta
(c) a = (g-a)\sin\theta
(d) a = (g+a)\sin\theta
(e) a = 0
(f) N = m(g-a)\cos\theta

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