4.23 Hastes retas com 0,3 in. de diâmetro e 200-ft de comprimento são utilizadas algumas vezes para desobstruir dutos enterrados ou para passar cabos em dutos novos. As hastes são feitas de aço de alta resistência e, para armazenamento e transporte, são enroladas em carretéis com 5-ft diâmetro. Admitindo que a resistência ao escoamento nāo é excedida, determine (a) a tensāo máxima na haste, quando a haste, que está inicialmente reta, é enrolada no carretel, (b) o correspondente momento de flexāo na haste. Utilize E=29 \times 10^{6} \mathrm{psi}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a tensão máxima na haste quando ela é enrolada no carretel e (b) o momento de flexão correspondente. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado e pela figura (peguei estes dados da imagem) são:
  • diâmetro da haste: d=0,3\\ \text{in.};
  • comprimento da haste: 200\\ \text{ft} (não é necessário para os cálculos pedestres, mas está dado);
  • diâmetro do carretel: D_{\text{carretel}}=5\\ \text{ft} (pegado da imagem);
  • módulo de elasticidade do aço: E=29\times10^{6}\\ \text{psi}.
As quantidades que vamos determinar são:
  • (a) tensão máxima \sigma_{\max} na haste devido à curvatura imposta pelo carretel;
  • (b) momento fletor M correspondente nessa seção da haste.

Passo 2

Primeiro fazemos conversões de unidades e calculamos parâmetros geométricos simples que vamos usar:
  • raio do carretel (raio de curvatura da haste quando enrolada): R=\frac{D_{\text{carretel}}}{2}=\frac{5\\ \text{ft}}{2}=2,5\\ \text{ft}=2,5\times12\\ \text{in.}=30\\ \text{in.}
  • semieixo da seção (distância da fibra mais afastada ao centro da haste): c=\frac{d}{2}=\frac{0,3\\ \text{in.}}{2}=0,15\\ \text{in.}
Aqui já temos R=30\\ \text{in.} e c=0,15\\ \text{in.}, ambos em polegadas, compatíveis com E em psi.

Passo 3

Agora uma breve aula-didática sobre como a curvatura gera tensão por flexão (não tem mistério, vou explicar passo a passo):
  • Quando uma barra reta é curvada para um raio R, a fibra que fica a uma distância y do centro neutro sofre uma deformação (alongamento relativo) aproximadamente igual a \varepsilon=\dfrac{y}{R}. Isso vem da razão entre o arco e o raio: a fibra externa percorre um arco maior que o neutro proporcional a y.
  • Para material elástico linear (Lei de Hooke), a tensão em uma fibra é \sigma=E\,\varepsilon. Substituindo \varepsilon=\dfrac{y}{R} obtemos a tensão em função de y:
\sigma(y)=E\frac{y}{R}.
  • A tensão máxima por flexão ocorre na fibra mais externa, isto é para y=c. Assim:
\sigma_{\max}=E\frac{c}{R}.
Essa é uma fórmula muito prática: tensão máxima por curvatura conhecida.

Passo 4

Aplicamos a fórmula para obter numericamente a tensão máxima. Substituindo os valores:
\sigma_{\max}=E\frac{c}{R}=29\times10^{6}\cdot\frac{0,15}{30}\\ \text{psi}.
Calculemos o fator: \dfrac{0,15}{30}=0,005. Então
\sigma_{\max}=29\times10^{6}\times0,005=1,45\times10^{5}\\ \text{psi}.
Em notação usual: \sigma_{\max}=145{,}000\\ \text{psi}.
Pequena observação prática (sem mudar o resultado): esse valor é alto comparado a resistências práticas de aços, mas o enunciado pede para admitir que o limite de escoamento não é excedido; portanto usamos a fórmula elástica diretamente.

Passo 5

Agora vamos ao momento de flexão M. Recordando a teoria clássica de flexão para pequenas deformações:
  • A relação entre tensão máxima, momento fletor, inércia e c é
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I},
onde I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro.
  • Isolando M obtemos
M=\frac{\sigma_{\max}\,I}{c}.
Substituindo \sigma_{\max}=E\frac{c}{R} nessa expressão também obtemos a forma alternativa mais direta:
M=\frac{E I}{R},
que é conveniente quando sabemos E, I e R.

Passo 6

Precisamos do momento de inércia I para a seção circular maciça. A fórmula da seção circular de diâmetro d é
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
Calculando com d=0,3\\ \text{in.}:
d^{4}=0,3^{4}=0,0081,
I=\frac{\pi\cdot0,0081}{64}\approx0,00039758\\ \text{in.}^{4}.
Agora usamos M=\dfrac{E I}{R}:
M=\frac{29\times10^{6}\times0,00039758}{30}\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Façamos a conta:
29\times10^{6}\times0,00039758\approx11\,529{,}8,
M\approx\frac{11\,529{,}8}{30}=384{,}33\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Convertendo para \text{lb}\cdot\text{ft} (dividindo por 12):
M\approx\frac{384{,}33}{12}=32{,}03\\ \text{lb}\cdot\text{ft}.

Passo 7

Resumo físico rápido e incentivo: a tensão elástica calculada vem diretamente da curvatura imposta pelo carretel; o momento de flexão é pequeno em termos absolutos (algumas dezenas de lb·ft) porque a barra tem seção pequena, mas a tensão resultante é grande por causa do raio relativamente pequeno em relação ao raio da seção. Não se preocupe — a técnica que usamos (relacionar curvatura e tensão, usar I da seção e M=EI/R) é exatamente a que cai em prova e é rápida de aplicar.

Resposta

\sigma_{\max}=1,45\times10^{5}\\ \text{psi}
M=3,84\times10^{2}\\ \text{lb}\cdot\text{in}\approx32{,}03\\ \text{lb}\cdot\text{ft}

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