4.23 Hastes retas com 0,3 in. de diâmetro e 200-ft de comprimento são utilizadas algumas vezes para desobstruir dutos enterrados ou para passar cabos em dutos novos. As hastes são feitas de aço de alta resistência e, para armazenamento e transporte, são enroladas em carretéis com 5-ft diâmetro. Admitindo que a resistência ao escoamento nāo é excedida, determine (a) a tensāo máxima na haste, quando a haste, que está inicialmente reta, é enrolada no carretel, (b) o correspondente momento de flexāo na haste. Utilize
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) a tensão máxima na haste quando ela é enrolada no carretel e (b) o momento de flexão correspondente. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado e pela figura (peguei estes dados da imagem) são:
- diâmetro da haste:
; - comprimento da haste:
(não é necessário para os cálculos pedestres, mas está dado); - diâmetro do carretel:
(pegado da imagem); - módulo de elasticidade do aço:
.
As quantidades que vamos determinar são:
- (a) tensão máxima
na haste devido à curvatura imposta pelo carretel; - (b) momento fletor
correspondente nessa seção da haste.
Passo 2
Primeiro fazemos conversões de unidades e calculamos parâmetros geométricos simples que vamos usar:
- raio do carretel (raio de curvatura da haste quando enrolada):
- semieixo da seção (distância da fibra mais afastada ao centro da haste):
Aqui já temos
e
, ambos em polegadas, compatíveis com
em psi.
Passo 3
Agora uma breve aula-didática sobre como a curvatura gera tensão por flexão (não tem mistério, vou explicar passo a passo):
-
Quando uma barra reta é curvada para um raio
, a fibra que fica a uma distância do centro neutro sofre uma deformação (alongamento relativo) aproximadamente igual a . Isso vem da razão entre o arco e o raio: a fibra externa percorre um arco maior que o neutro proporcional a . -
Para material elástico linear (Lei de Hooke), a tensão em uma fibra é
. Substituindo obtemos a tensão em função de :
- A tensão máxima por flexão ocorre na fibra mais externa, isto é para
. Assim:
Essa é uma fórmula muito prática: tensão máxima por curvatura conhecida.
Passo 4
Aplicamos a fórmula para obter numericamente a tensão máxima. Substituindo os valores:
Calculemos o fator:
. Então
Em notação usual:
Pequena observação prática (sem mudar o resultado): esse valor é alto comparado a resistências práticas de aços, mas o enunciado pede para admitir que o limite de escoamento não é excedido; portanto usamos a fórmula elástica diretamente.
Passo 5
Agora vamos ao momento de flexão
. Recordando a teoria clássica de flexão para pequenas deformações:
- A relação entre tensão máxima, momento fletor, inércia e
é
onde
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro.
- Isolando
obtemos
Substituindo
nessa expressão também obtemos a forma alternativa mais direta:
que é conveniente quando sabemos
,
e
.
Passo 6
Precisamos do momento de inércia
para a seção circular maciça. A fórmula da seção circular de diâmetro
é
Calculando com
:
Agora usamos
:
Façamos a conta:
Convertendo para
(dividindo por
):
Passo 7
Resumo físico rápido e incentivo: a tensão elástica calculada vem diretamente da curvatura imposta pelo carretel; o momento de flexão é pequeno em termos absolutos (algumas dezenas de lb·ft) porque a barra tem seção pequena, mas a tensão resultante é grande por causa do raio relativamente pequeno em relação ao raio da seção. Não se preocupe — a técnica que usamos (relacionar curvatura e tensão, usar
da seção e
) é exatamente a que cai em prova e é rápida de aplicar.