22- \int \frac{1}{x \ln (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \r
\int \frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx. \r
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos uma composição envolvendo \ln(x) e seu derivado aparece como fator em 1/x.

Passo 2

Fazemos a substituição \r
\;u = \ln(x). \r
Então, ao derivar, obtemos \r
\;du = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, note que \r
\frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx = \frac{1}{u}\,\bigl(\tfrac{1}{x}\,dx\bigr) = \frac{1}{u}\,du. \r
Portanto a integral se torna \r
\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

A integral de 1/u em relação a u é a função logarítmica: \r
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, usamos u = \ln(x) e obtemos \r
\ln\bigl|u\bigr| + C = \ln\bigl|\ln(x)\bigr| + C.

Resposta

\boxed{\ln\bigl|\ln(x)\bigr| + C}

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