23- \int_{0}^{5} x \cdot e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{0}^{5} x\,e^{x^{2}}\,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos e^{x^{2}} e seu quase-derivado x\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Ajustamos os limites de integração:
quando x=0, u=0^{2}=0;
quando x=5, u=5^{2}=25.
Isso transforma a integral em
\int_{0}^{5} x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{25} e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{25} e^{u}\,du.

Passo 4

Sabendo que \int e^{u}\,du = e^{u}, temos
\frac{1}{2}\int_{0}^{25} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{25} = \frac{1}{2}\bigl(e^{25}-e^{0}\bigr) = \frac{e^{25}-1}{2}.

Resposta

\int_{0}^{5} x\,e^{x^{2}}\,dx = \frac{e^{25}-1}{2}.

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