24- \int \operatorname{sen}(3 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(3x+1)\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição (u-substitution) para integrar funções compostas. Vamos identificar a parte interna da função e usar u-substituição.

Passo 2

Escolhemos
u = 3x + 1,
então
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo em \int \operatorname{sen}(3x+1)\,dx, temos
\int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
A integral de \operatorname{sen}(u) é
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo,
\frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\frac{1}{3}\cos(u) + C.

Passo 4

Volta-se à variável x substituindo u = 3x+1:
-\frac{1}{3}\cos(u) + C \;\longrightarrow\; -\frac{1}{3}\cos(3x+1) + C.

Resposta

-\frac{1}{3}\cos(3x+1) + C

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