23: (MMQ contínuo)
Determine a, b e c para os quais o valor da integral \int_{-1}^{1}\left(\cos (x)-a-b x-c x^{2}\right)^{2} d x seja o menor possível (apresente os cálculos de todas as integrais necessárias para a resolução da questão).
Dica: considere os polinômios \left\{p_{1}(x)=1, p_{2}(x)=x, p_{3}(x)=x^{2}-1 / 3\right\} e a seguinte tabela de integrais
\begin{array}{lll} \int_{-1}^{1} p_{1}(x) p_{1}(x) d x=2 & \int_{-1}^{1} p_{1}(x) p_{2}(x) d x=0 & \int_{-1}^{1} p_{1}(x) p_{3}(x) d x=0 \\ & \int_{-1}^{1} p_{2}(x) p_{2}(x) d x=\frac{2}{3} & \int_{-1}^{1} p_{2}(x) p_{3}(x) d x=0 \\ & & \int_{-1}^{1} p_{3}(x) p_{3}(x) d x=8 / 45 \end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede determinar a,b,c para os quais a quantidade
\int_{-1}^{1}\left(\cos(x)-a-bx-cx^{2}\right)^{2}dx
é mínima.
  • Foram sugeridos os polinômios
p_{1}(x)=1,\qquad p_{2}(x)=x,\qquad p_{3}(x)=x^{2}-\tfrac{1}{3},
e foi dada a tabela com os produtos internos (peguei estes valores do enunciado):
\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{-1}^{1} p_{1}p_{1}\,dx=2 & \displaystyle\int_{-1}^{1} p_{1}p_{2}\,dx=0 & \displaystyle\int_{-1}^{1} p_{1}p_{3}\,dx=0\\[6pt] & \displaystyle\int_{-1}^{1} p_{2}p_{2}\,dx=\tfrac{2}{3} & \displaystyle\int_{-1}^{1} p_{2}p_{3}\,dx=0\\[6pt] & & \displaystyle\int_{-1}^{1} p_{3}p_{3}\,dx=\tfrac{8}{45}. \end{array}
  • Objetivo prático: encontrar o polinômio quadrático q(x)=a+bx+cx^{2} que aproxima \cos(x) em sentido de mínimos quadrados em [-1,1].]

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar):
  • Em termos de espaços com produto interno \langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,dx, minimizar \| \cos - q\|^{2}=\langle \cos-q,\cos-q\rangle é equivalente a projetar \cos no subespaço V=\mathrm{span}\{1,x,x^{2}\}.
  • Como os polinômios p_{1},p_{2},p_{3} fornecidos são ortogonais (pela tabela), é conveniente escrever a projeção como combinação linear deles:
\hat{f}(x)=\alpha_{1}p_{1}(x)+\alpha_{2}p_{2}(x)+\alpha_{3}p_{3}(x).
  • Para uma base ortogonal, os coeficientes são dados por
\alpha_{i}=\frac{\langle \cos, p_{i}\rangle}{\langle p_{i},p_{i}\rangle}=\frac{\int_{-1}^{1}\cos(x)\,p_{i}(x)\,dx}{\int_{-1}^{1}p_{i}(x)^{2}\,dx}.
  • Em seguida relacionamos \hat{f} com a+bx+cx^{2} para obter a,b,c.
    Agora vamos calcular todos os produtos internos necessários (os numeradores acima).

Passo 3

Cálculo de \langle \cos,p_{1}\rangle=\int_{-1}^{1}\cos(x)\cdot 1\,dx.
\int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx=\bigl[\sin(x)\bigr]_{-1}^{1}=\sin(1)-\sin(-1)=2\sin(1).
Logo \langle \cos,p_{1}\rangle=2\sin(1).

Passo 4

Cálculo de \langle \cos,p_{2}\rangle=\int_{-1}^{1}\cos(x)\cdot x\,dx.
Observe que x\mapsto x\cos(x) é função ímpar (porque x é ímpar e \cos é par), então a integral simétrica é zero:
\int_{-1}^{1} x\cos(x)\,dx = 0.
Logo \langle \cos,p_{2}\rangle=0.

Passo 5

Cálculo de \langle \cos,p_{3}\rangle=\int_{-1}^{1}\cos(x)\bigl(x^{2}-\tfrac{1}{3}\bigr)\,dx.
Separe em duas integrals:
\int_{-1}^{1}\cos(x)\bigl(x^{2}-\tfrac{1}{3}\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}x^{2}\cos(x)\,dx-\tfrac{1}{3}\int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx.
Já temos \displaystyle\int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx=2\sin(1). Então
\langle \cos,p_{3}\rangle=\int_{-1}^{1}x^{2}\cos(x)\,dx-\tfrac{2}{3}\sin(1).
Vamos calcular I=\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{2}\cos(x)\,dx. Como x^{2}\cos(x) é par, vale
I=2\int_{0}^{1}x^{2}\cos(x)\,dx.
Calcule a primitiva por partes: para J=\int x^{2}\cos x\,dx, escolha u=x^{2}, dv=\cos x\,dx. Então du=2x\,dx, v=\sin x, e
J=x^{2}\sin x-\int 2x\sin x\,dx.
Para \int 2x\sin x\,dx use partes de novo: tome u=2x, dv=\sin x\,dx, então du=2dx, v=-\cos x, obtendo
\int 2x\sin x\,dx = -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx = -2x\cos x + 2\sin x.
Substituindo em J:
J = x^{2}\sin x -\bigl(-2x\cos x + 2\sin x\bigr)=x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x.
Avalie de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x^{2}\cos x\,dx = \bigl[x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x\bigr]_{0}^{1} = \bigl(\sin(1) + 2\cos(1) - 2\sin(1)\bigr)-0 =2\cos(1)-\sin(1).
Portanto
I=2\cdot\bigl(2\cos(1)-\sin(1)\bigr)=4\cos(1)-2\sin(1).
Voltando a \langle \cos,p_{3}\rangle:
\langle \cos,p_{3}\rangle = \bigl(4\cos(1)-2\sin(1)\bigr)-\tfrac{2}{3}\sin(1) =4\cos(1)-\frac{8}{3}\sin(1).

Passo 6

Agora obtemos os coeficientes \alpha_{i} usando os denominadores (peguei-os na tabela do enunciado):
  • Para p_{1}: \langle p_{1},p_{1}\rangle=2. Logo
\alpha_{1}=\frac{\langle \cos,p_{1}\rangle}{\langle p_{1},p_{1}\rangle} =\frac{2\sin(1)}{2}=\sin(1).
  • Para p_{2}: \langle p_{2},p_{2}\rangle=\tfrac{2}{3} e numerador 0, então
\alpha_{2}=0.
  • Para p_{3}: \langle p_{3},p_{3}\rangle=\tfrac{8}{45}. Portanto
\alpha_{3}=\frac{4\cos(1)-\tfrac{8}{3}\sin(1)}{\tfrac{8}{45}} =\bigl(4\cos(1)-\tfrac{8}{3}\sin(1)\bigr)\cdot\frac{45}{8}.
Calcule os fatores:
\frac{45}{8}\cdot 4=\frac{180}{8}=\frac{45}{2},\qquad \frac{45}{8}\cdot\frac{8}{3}=\frac{45}{3}=15.
Logo
\alpha_{3}=\frac{45}{2}\cos(1)-15\sin(1).

Passo 7

Relacionar \hat{f}(x)=\alpha_{1}p_{1}(x)+\alpha_{2}p_{2}(x)+\alpha_{3}p_{3}(x) com a+bx+cx^{2}.
Escrevendo p_{3}(x)=x^{2}-\tfrac{1}{3}:
\hat{f}(x)=\alpha_{1}\cdot 1 + \alpha_{2}\cdot x + \alpha_{3}\bigl(x^{2}-\tfrac{1}{3}\bigr) =(\alpha_{1}-\tfrac{\alpha_{3}}{3}) + \alpha_{2}x + \alpha_{3}x^{2}.
Comparando com a+bx+cx^{2} obtemos
a=\alpha_{1}-\tfrac{\alpha_{3}}{3},\qquad b=\alpha_{2},\qquad c=\alpha_{3}.
Substitua os \alpha já encontrados:
c=\alpha_{3}=\frac{45}{2}\cos(1)-15\sin(1),
b=\alpha_{2}=0,
a=\alpha_{1}-\tfrac{\alpha_{3}}{3} =\sin(1)-\tfrac{1}{3}\Bigl(\frac{45}{2}\cos(1)-15\sin(1)\Bigr).
Calcule a:
\tfrac{1}{3}\Bigl(\frac{45}{2}\cos(1)-15\sin(1)\Bigr)=\frac{45}{6}\cos(1)-5\sin(1)=\frac{15}{2}\cos(1)-5\sin(1).
Portanto
a=\sin(1)-\Bigl(\frac{15}{2}\cos(1)-5\sin(1)\Bigr) =6\sin(1)-\frac{15}{2}\cos(1).
Opcionalmente pôr com denominador comum 2:
a=\frac{12\sin(1)-15\cos(1)}{2}.

Passo 8

Interpretação final e incentivo rápido:
  • Concluímos que o melhor polinômio quadrático em mínimos quadrados é q(x)=a+bx+cx^{2} com os coeficientes acima (expressos em função de \sin(1) e \cos(1)). Nada de números aproximados por enquanto — essas expressões são exatas em termos de \sin(1) e \cos(1).
  • Boa! Isso resolve o problema por projeção ortogonal e usei todas as integrais pedidas com os cálculos passo a passo. Se quiser, eu também calculo aproximações numéricas de a,b,c para checar.

Resposta

a=6\sin(1)-\dfrac{15}{2}\cos(1)
b=0
c=\dfrac{45}{2}\cos(1)-15\sin(1)

Exercícios relacionados