23: (MMQ contínuo)
Determine
e
para os quais o valor da integral
seja o menor possível (apresente os cálculos de todas as integrais necessárias para a resolução da questão).
Dica: considere os polinômios
e a seguinte tabela de integrais
Determine
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede determinar
para os quais a quantidade
é mínima.
- Foram sugeridos os polinômios
e foi dada a tabela com os produtos internos (peguei estes valores do enunciado):
- Objetivo prático: encontrar o polinômio quadrático
que aproxima em sentido de mínimos quadrados em .]
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar):
- Em termos de espaços com produto interno
, minimizar é equivalente a projetar no subespaço . - Como os polinômios
fornecidos são ortogonais (pela tabela), é conveniente escrever a projeção como combinação linear deles:
- Para uma base ortogonal, os coeficientes são dados por
- Em seguida relacionamos
com para obter .
Agora vamos calcular todos os produtos internos necessários (os numeradores acima).
Passo 3
Cálculo de
.
Logo
.
Passo 4
Cálculo de
.
Observe que
é função ímpar (porque
é ímpar e
é par), então a integral simétrica é zero:
Logo
.
Passo 5
Cálculo de
.
Separe em duas integrals:
Já temos
. Então
Vamos calcular
. Como
é par, vale
Calcule a primitiva por partes: para
, escolha
,
. Então
,
, e
Para
use partes de novo: tome
,
, então
,
, obtendo
Substituindo em
:
Avalie de
a
:
Portanto
Voltando a
:
Passo 6
Agora obtemos os coeficientes
usando os denominadores (peguei-os na tabela do enunciado):
- Para
: . Logo
- Para
: e numerador , então
- Para
: . Portanto
Calcule os fatores:
Logo
Passo 7
Relacionar
com
.
Escrevendo
:
Comparando com
obtemos
Substitua os
já encontrados:
Calcule
:
Portanto
Opcionalmente pôr com denominador comum
:
Passo 8
Interpretação final e incentivo rápido:
- Concluímos que o melhor polinômio quadrático em mínimos quadrados é
com os coeficientes acima (expressos em função de e ). Nada de números aproximados por enquanto — essas expressões são exatas em termos de e . - Boa! Isso resolve o problema por projeção ortogonal e usei todas as integrais pedidas com os cálculos passo a passo. Se quiser, eu também calculo aproximações numéricas de
para checar.