A tabela
r 2,70 2,00 1,61 1,20 1,02
\theta 48^{\circ} 67^{\circ} 83^{\circ} 108^{\circ} 126^{\circ}
foi gerada a partir de posições de um cometa em coordenadas polares convenientes. Sabendo-se que a órbita do cometa é descrita pela lei de Kepler
r=\frac{p}{1-e \cos \theta}
estime p e e usando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com pares \theta (em graus) e r e pede: estimar os parâmetros p e e da lei de Kepler
r=\frac{p}{1-e\cos\theta}
usando mínimos quadrados. Peguei os dados da tabela fornecida:
\begin{array}{c|ccccc} r & 2{,}70 & 2{,}00 & 1{,}61 & 1{,}20 & 1{,}02\\hline \theta & 48^\circ & 67^\circ & 83^\circ & 108^\circ & 126^\circ \end{array}
O objetivo é obter estimativas numéricas de p e e a partir desses cinco pontos.

Passo 2

Transformação para tornar o problema linear (explicação didática). A fórmula dada é
r=\frac{p}{1-e\cos\theta}.
Tomando recíproco de ambos os lados obtemos
\frac{1}{r}=\frac{1-e\cos\theta}{p}=\frac{1}{p}-\frac{e}{p}\cos\theta.
Definindo as quantidades auxiliares
y=\frac{1}{r},\qquad x=\cos\theta, \qquad a=\frac{1}{p},\qquad b=\frac{e}{p},
ficamos com o modelo linear
y=a-bx.
Esse modelo é linear em a e b, então podemos usar regressão linear por mínimos quadrados para estimar a e b. Depois recuperamos
p=\frac{1}{a},\qquad e=\frac{b}{a^{-1}}=p\,b.
Motivo da linearização: mínimos quadrados lineares têm fórmula fechada (normal equations) e são fáceis de aplicar; aqui a transformação 1/r torna a relação linear em \cos\theta.

Passo 3

Calculei x=\cos\theta (peguei \theta da tabela) e y=1/r (peguei r da tabela). Valores numéricos (com precisão adequada):
\begin{array}{c|ccccc} \theta & 48^\circ & 67^\circ & 83^\circ & 108^\circ & 126^\circ\\hline x=\cos\theta & 0{,}6691306063588582 & 0{,}3907311284892737 & 0{,}12186934340514748 & -0{,}30901698874989487 & -0{,}5877852522924731\\hline r & 2{,}70 & 2{,}00 & 1{,}61 & 1{,}20 & 1{,}02\\hline y=\dfrac{1}{r} & 0{,}37037037037037035 & 0{,}5 & 0{,}6211180124223602 & 0{,}8333333333333334 & 0{,}9803921568627451 \end{array}
Agora procedemos com a regressão linear de y em função de x para o modelo y=a+ C x, observando que aqui C=-b. Ao final fazemos a conversão para p e e.

Passo 4

Formulário dos mínimos quadrados (rápida aula):
  • Para o modelo linear y=A+Cx com n pontos, as estimativas de C e A são dadas por
C=\frac{\displaystyle\sum_i x_i y_i-\frac{1}{n}\left(\sum_i x_i\right)\left(\sum_i y_i\right)} {\displaystyle\sum_i x_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_i x_i\right)^2}, \qquad A=\overline{y}-C\overline{x},
onde \overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_i x_i e \overline{y}=\dfrac{1}{n}\sum_i y_i.
  • No nosso caso temos y=a-bx, isto é A=a e C=-b. Depois p=1/a e e=p\,b.
Calculemos as somas necessárias (usei os x e y da tabela):
\begin{aligned} n&=5,\\[4pt] \sum x_i &= 0{,}28492883721091137,\\[4pt] \sum y_i &= 3{,}3052138729888085,\\[4pt] \sum x_i^2 &= 1{,}0562948488829622,\\[4pt] \sum x_i y_i &= -0{,}31490105359396505. \end{aligned}
Médias:
\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}=0{,}056985767442182274,\qquad \overline{y}=\frac{\sum y_i}{n}=0{,}6610427745977617.]

Passo 5

Cálculo do coeficiente angular C e do intercepto A (contas aplicadas):
C=\frac{\sum x_i y_i-\dfrac{1}{n}\sum x_i\sum y_i}{\sum x_i^2-\dfrac{1}{n}(\sum x_i)^2} =\frac{-0{,}31490105359396505-\dfrac{0{,}28492883721091137\cdot 3{,}3052138729888085}{5}} {1{,}0562948488829622-\dfrac{(0{,}28492883721091137)^2}{5}}.
Substituindo e calculando:
C\approx -0{,}483878.
Em seguida
A=\overline{y}-C\overline{x}\approx 0{,}6610427745977617-(-0{,}483878)\cdot 0{,}056985767442182274\approx 0{,}6886119.
Recordando as identificações: A=a=1/p e C=-b com b=e/p. Então
a\approx 0{,}6886119,\qquad b=-C\approx 0{,}483878.

Passo 6

Recuperando p e e e pequeno comentário final:
p=\frac{1}{a}\approx\frac{1}{0{,}6886119}\approx 1{,}4524, \qquad e=p\cdot b\approx 1{,}4524\cdot 0{,}483878\approx 0{,}7028.
Interpretação curta: a estimação via mínimos quadrados após linearizar por 1/r fornece p da ordem de 1{,}45 (unidades do comprimento adotadas na tabela) e excentricidade e aproximadamente 0{,}70. Esses valores significam uma órbita bastante excêntrica (lembre: 0\le e<1 para elipse, e valores próximos de 1 são muito alongados).

Resposta

p\approx 1{,}452
e\approx 0{,}703

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