4- Calcular a vazão que escoa em um vertedor do tipo triangular ou de Thomson, cuja carga hidráulica medida a 32 cm a montante da soleira do vertedor foi de 6,0 \mathrm{~cm}. Valor (1,0)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Tipo de vertedor: triangular (vertedor de Thomson).
  • Carga hidráulica medida a montante da soleira: \;6,0\\ \mathrm{cm}.
  • A medição foi feita a 32\\ \mathrm{cm} a montante da soleira.
  • O enunciado indica o valor do coeficiente igual a (1,0) — ou seja, usar C_d=1{,}0.
O que se pede:
  • Calcular a vazão Q que escoa pelo vertedor.
Observação importante (sem resolver ainda): vou assumir que o vertedor triangular é um V-notch de ângulo de 90^\circ no vértice (caso o ângulo fosse outro, aparece um fator \tan(\theta/2) na fórmula; explico isso nos passos seguintes). Também vou assumir que a medida da carga a 32\\ \mathrm{cm} a montante pode ser tomada como a carga útil h para a fórmula (ou seja, despreza-se correção de velocidade de aproximação). Se essas hipóteses não valessem, seria necessário corrigir a carga medida.

Passo 2

Derivação didática da fórmula do vertedor triangular (V-notch).
Vamos construir a expressão da vazão integrando contribuições elementares. Suponha um vertedor em V com ângulo do vértice \theta e carga sobre o vértice igual a h. Considere uma lâmina horizontal elemento de espessura dy localizada a uma profundidade y acima do vértice ( y varia de 0 até h ).
  • A largura daquela lâmina, por semelhança de triângulos, é
b(y)=2\,y\,\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Explicando: a meia-aba (do vértice até a borda) forma um triângulo cujo cateto oposto tem comprimento y e ângulo \theta/2, então sua base é y\tan(\theta/2); a largura total é o dobro.
  • A velocidade local da lâmina, pela equação de Bernoulli (queda de carga entre superfície e altitude do elemento), é dada por Torricelli:
v(y)=\sqrt{2g\,(h-y)}.
Explicando: a velocidade de um jorro livre que cai pela altura (h-y) é \sqrt{2g(h-y)}.
  • O débito elementar (sem considerar coeficiente) é
dQ = v(y)\,b(y)\,dy = \sqrt{2g(h-y)}\cdot 2y\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\,dy.
Agora integramos de y=0 até y=h e aplicamos o coeficiente de descarga C_d:
Q = C_d \int_{0}^{h} 2\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\,y\sqrt{2g(h-y)}\,dy.
Colocando constantes fora da integral:
Q = C_d\;2\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\sqrt{2g}\;\int_{0}^{h} y\sqrt{\,h-y\,}\;dy.
Fazemos a integral. Seja t=h-y. Então y=h-t, quando y=0\Rightarrow t=h e quando y=h\Rightarrow t=0. Assim
\int_{0}^{h} y\sqrt{h-y}\,dy = \int_{0}^{h} (h-t)\sqrt{t}\,dt = h\int_{0}^{h} t^{1/2}\,dt - \int_{0}^{h} t^{3/2}\,dt.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{h} t^{1/2}\,dt = \frac{2}{3}h^{3/2},\qquad \int_{0}^{h} t^{3/2}\,dt = \frac{2}{5}h^{5/2}.
Portanto
\int_{0}^{h} y\sqrt{h-y}\,dy = h\cdot\frac{2}{3}h^{3/2} - \frac{2}{5}h^{5/2} = \left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right)h^{5/2} = \frac{4}{15}\,h^{5/2}.
Substituindo na expressão de Q:
Q = C_d\;2\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\sqrt{2g}\cdot\frac{4}{15}\,h^{5/2} = C_d\;\frac{8}{15}\,\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\sqrt{2g}\;h^{5/2}.
Esta é a fórmula clássica do vertedor em V (ângulo \theta).

Passo 3

Aplicando ao caso específico (hipóteses explicitadas):
  • Tomamos \theta=90^\circ (vertedor em V de 90^\circ, hipótese razonável para um “triangular/Thomson” típico). Então
\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\tan(45^\circ)=1.
  • O enunciado indicou C_d=1{,}0.
  • Convertemos a carga para unidades SI:
h=6{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Assim a fórmula fica
Q = \frac{8}{15}\,\sqrt{2g}\;h^{5/2}.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo (tudo em TeX):
Calcule \sqrt{2g}:
2g = 2\cdot 9{,}81 = 19{,}62,\qquad \sqrt{2g}=\sqrt{19{,}62}=4{,}429446\ldots
Calcule h^{5/2}:
h^{5/2} = (0{,}06)^{2{,}5} = (0{,}06)^2\sqrt{0{,}06} = 0{,}0036\cdot 0{,}24494897\ldots = 0{,}0008818175\ldots
Agora o prefator \dfrac{8}{15}\sqrt{2g}:
\frac{8}{15}=0{,}533333\ldots\quad\Rightarrow\quad \frac{8}{15}\sqrt{2g}=0{,}533333\ldots\times 4{,}429446\ldots = 2{,}3622987\ldots
Finalmente,
Q = 2{,}3622987\ldots \times 0{,}0008818175\ldots = 0{,}0020831\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q = 0{,}0020831\\ \mathrm{m^3/s} = 2{,}0831\\ \mathrm{L/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
Q \approx 2{,}08\\ \mathrm{L/s}.
Comentário didático rápido: se a velocidade de aproximação for significativa ou se a medição do nível a 32\\ \mathrm{cm} estiver muito próxima da borda de influência, seria necessário aplicar correção de velocidade de aproximação (ou medir o nível em distância padrão). Aqui, seguindo o enunciado e o coeficiente fornecido, usamos a carga medida diretamente como h.

Resposta

Q=2{,}08\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}
Q=2{,}08\\ \mathrm{L/s}

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