Sabendo que a matriz M=\left[\begin{array}{ccc}2+x & b & c \\\\ -3 & 3-y & a \\\\ 1 & 0 & 3 z\end{array}\right] é antissimétrica, qual o valor de (x+y+z) \cdot(a+b+c) ?
(A) -2
(B) 2
(C) 4
(D) -3
(E) 0

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}2+x & b & c \\[4pt] -3 & 3-y & a \\[4pt] 1 & 0 & 3z\end{pmatrix}
e pede o valor de (x+y+z)\cdot(a+b+c). Informação importante: a matriz M é antissimétrica. Lista de dados explícitos que temos:
M_{11}=2+x,\quad M_{12}=b,\quad M_{13}=c,
M_{21}=-3,\quad M_{22}=3-y,\quad M_{23}=a,
M_{31}=1,\quad M_{32}=0,\quad M_{33}=3z.
Pergunta: calcular (x+y+z)\cdot(a+b+c) usando a condição de antissimetria.]

Passo 2

O que significa “matriz antissimétrica” (também chamada de “skew-symmetric”)? Por definição, uma matriz quadrada A é antissimétrica se
A^{T} = -A.
Aqui A^{T} é a transposta de A, ou seja, (A^{T})_{ij}=A_{ji}. A igualdade A^{T}=-A traduz-se em duas consequências práticas:
  1. Todos os elementos da diagonal principal são zero, porque para i=j temos (A^{T})_{ii}=A_{ii} e a condição vira A_{ii}=-A_{ii}, logo A_{ii}=0.
  2. Para i\neq j vale A_{ij} = -A_{ji}. Ou seja, cada elemento fora da diagonal é o negativo do simétrico em relação à diagonal.
Vou usar essas duas propriedades para obter equações que relacionam x,y,z,a,b,c.

Passo 3

Aplicando a condição diagonal zero para M. As entradas diagonais são M_{11},M_{22},M_{33}. Devem ser zero:
M_{11}=2+x=0,
M_{22}=3-y=0,
M_{33}=3z=0.
Resolver cada equação para as variáveis.

Passo 4

Resolver as equações diagonais obtidas:
Da equação 2+x=0 vem
x=-2.
Da equação 3-y=0 vem
y=3.
Da equação 3z=0 vem
z=0.
Então já temos
x=-2,\quad y=3,\quad z=0.

Passo 5

Agora aplicamos a condição M_{ij} = -M_{ji} para as entradas fora da diagonal. Vamos escrever cada par simétrico:
Par (1,2) e (2,1):
M_{12}=b,\quad M_{21}=-3,
a condição pede b = -(-3). Logo
b = 3.
Par (1,3) e (3,1):
M_{13}=c,\quad M_{31}=1,
a condição pede c = -1. Logo
c = -1.
Par (2,3) e (3,2):
M_{23}=a,\quad M_{32}=0,
a condição pede a = -0. Logo
a = 0.
Resumindo:
a=0,\quad b=3,\quad c=-1.

Passo 6

Agora calculamos os somatórios pedidos. Primeiro x+y+z:
x+y+z = (-2)+3+0 = 1.
Depois a+b+c:
a+b+c = 0 + 3 + (-1) = 2.
Finalmente o produto:
(x+y+z)\cdot(a+b+c) = 1 \cdot 2 = 2.

Resposta

(B) 2

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