23{ }^{\text {a }} Questão

Um clube privado cobra a anuidade de \ 100 por membro, menos$0,50 para cada membro acima de 600 e mais$ 0,50$ para cada membro abaixo de 600. Quantos membros darão ao clube um rendimento anual máximo?
(A) 400 membros
(B) 500 membros
(C) 600 membros
(D) 700 membros
(E) 800 membros

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Cada membro paga uma anuidade de \$100 quando o clube tem exatamente 600 membros.
  • Para cada membro acima de 600 a anuidade por membro diminui em \$0,50.
  • Para cada membro abaixo de 600 a anuidade por membro aumenta em \$0,50.
  • Pergunta: quantos membros dão ao clube o rendimento anual máximo?
Informações relevantes extraídas:
  • Valor base por membro em 600 membros: \$100.
  • Ajuste por membro a partir de 600: \pm \$0,50 por cada unidade de diferença em relação a 600.

Passo 2

Vamos definir variáveis para modelar o problema de forma clara:
  • Seja n o número de membros (variável que queremos escolher).
  • Seja p(n) o preço da anuidade por membro quando há n membros.
  • Seja R(n) a receita total anual do clube para n membros.
Agora vamos escrever uma expressão para p(n). A regra do enunciado pode ser descrita como: o preço muda \$0,50 para cada membro que se afasta de 600. Isso pode ser escrito como uma variação linear em função de n-600. Então:
p(n) = 100 - 0{,}50\cdot (n-600).
Explico cada termo:
  • 100 é o preço quando n=600.
  • (n-600) é quantos membros a mais (positivo) ou a menos (negativo) em relação a 600.
  • Multiplica-se por 0{,}50 porque cada unidade altera o preço em \$0{,}50. O sinal menos aparece porque quando n>600 o preço diminui.

Passo 3

Façamos a álgebra para simplificar p(n):
p(n) = 100 - 0{,}50(n-600) = 100 - 0{,}50n + 0{,}50\cdot 600.
Calculando 0{,}50\cdot 600:
0{,}50\cdot 600 = 300.
Portanto,
p(n) = 100 - 0{,}50n + 300 = 400 - 0{,}50n.
Resumo: o preço por membro é uma função afim de n:
p(n)=400-0{,}50n.

Passo 4

Agora a receita total R(n) é o número de membros multiplicado pelo preço por membro:
R(n)=n\cdot p(n)=n(400-0{,}50n).
Multiplicando e reescrevendo como um polinômio:
R(n)=400n-0{,}50n^{2}.
Interpretando: R(n) é um polinômio quadrático em n. Em forma padrão temos
R(n)=a n^{2}+b n + c
com a=-0{,}50, b=400 e c=0.

Passo 5

Para maximizar R(n) quando temos uma parábola com a<0 (ou seja, que abre para baixo), o máximo ocorre no vértice da parábola. A coordenada do vértice (valor de n que maximiza R) para um quadrático a n^{2}+b n + c é dada por
n_{\text{vértice}} = -\frac{b}{2a}.é
Aqui a=-0{,}50 e b=400. Então:
n_{\text{vértice}} = -\frac{400}{2\cdot(-0{,}50)}.é
Calcule passo a passo:
2\cdot(-0{,}50) = -1,
-\frac{400}{-1} = 400.
Portanto o valor de n que maximiza R(n) é n=400.

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): calculemos receitas em alguns pontos para sentir o comportamento.
  • Para n=400:
R(400)=400\cdot(400-0{,}50\cdot 400)=400\cdot(400-200)=400\cdot 200=80\,000.
  • Para n=600:
R(600)=600\cdot(400-0{,}50\cdot 600)=600\cdot(400-300)=600\cdot 100=60\,000.
Resposta em n=400 é maior que em n=600, consistente com o máximo encontrado no vértice.

Resposta

400 membros

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