Questão
Um clube privado cobra a anuidade de
100
$0,50
$ 0,50$ para cada membro abaixo de 600. Quantos membros darão ao clube um rendimento anual máximo?
(A) 400 membros
(B) 500 membros
(C) 600 membros
(D) 700 membros
(E) 800 membros
(A) 400 membros
(B) 500 membros
(C) 600 membros
(D) 700 membros
(E) 800 membros
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Cada membro paga uma anuidade de
quando o clube tem exatamente membros. - Para cada membro acima de
a anuidade por membro diminui em . - Para cada membro abaixo de
a anuidade por membro aumenta em . - Pergunta: quantos membros dão ao clube o rendimento anual máximo?
Informações relevantes extraídas:
- Valor base por membro em
membros: . - Ajuste por membro a partir de
: por cada unidade de diferença em relação a .
Passo 2
Vamos definir variáveis para modelar o problema de forma clara:
- Seja
o número de membros (variável que queremos escolher). - Seja
o preço da anuidade por membro quando há membros. - Seja
a receita total anual do clube para membros.
Agora vamos escrever uma expressão para
. A regra do enunciado pode ser descrita como: o preço muda
para cada membro que se afasta de
. Isso pode ser escrito como uma variação linear em função de
. Então:
Explico cada termo:
-
é o preço quando . -
é quantos membros a mais (positivo) ou a menos (negativo) em relação a . - Multiplica-se por
porque cada unidade altera o preço em . O sinal menos aparece porque quando o preço diminui.
Passo 3
Façamos a álgebra para simplificar
:
Calculando
:
Portanto,
Resumo: o preço por membro é uma função afim de
:
Passo 4
Agora a receita total
é o número de membros multiplicado pelo preço por membro:
Multiplicando e reescrevendo como um polinômio:
Interpretando:
é um polinômio quadrático em
. Em forma padrão temos
com
,
e
.
Passo 5
Para maximizar
quando temos uma parábola com
(ou seja, que abre para baixo), o máximo ocorre no vértice da parábola. A coordenada do vértice (valor de
que maximiza
) para um quadrático
é dada por
Aqui
e
. Então:
Calcule passo a passo:
Portanto o valor de
que maximiza
é
.
Passo 6
Verificação rápida (sanidade): calculemos receitas em alguns pontos para sentir o comportamento.
- Para
:
- Para
:
Resposta em
é maior que em
, consistente com o máximo encontrado no vértice.