23^{\underline{a}} Questão: Uma das cordas de uma guitarra de comprimento igual a 63,5 \mathrm{~cm} é afinada para produzir uma nota B_{3} (freqüência igual a 245 Hz ) quando está vibrando no modo fundamental. (a) Calcule a velocidade da onda transversal que percorre a corda. (b) Se a tensão da corda aumentar de 1 \%, qual deve ser a nova freqüência fundamental da corda?

Passo 1

O problema envolve ondas estacionárias em corda vibrante. Temos uma corda de comprimento L=63{,}5\;\mathrm{cm}=0{,}635\;\mathrm{m} afinada no modo fundamental para a frequência f_1=245\;\mathrm{Hz}.
Em teoria de cordas vibrantes vale
f_1=\frac{v}{2L}
onde v é a velocidade da onda transversal na corda. Também sabemos que
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
mas, como não conhecemos a densidade linear \mu, usaremos diretamente f_1=\tfrac{v}{2L} para achar v.

Passo 2

Isolando v em f_1=\tfrac{v}{2L}, vem
v=2L\,f_1.
Substituindo L=0{,}635\;\mathrm{m} e f_1=245\;\mathrm{Hz}:
v=2\times0{,}635\times245\approx311{,}15\;\mathrm{m/s}.
Arredondando, \displaystyle v\approx311\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Se a tensão T aumentar em 1\%, a nova tensão é T'=1{,}01\,T. Como
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\quad\Longrightarrow\quad v'=\sqrt{\frac{T'}{\mu}}=\sqrt{1{,}01}\;v,
a nova frequência fundamental f_1'=\tfrac{v'}{2L} satisfaz
f_1'=\sqrt{1{,}01}\;f_1.

Passo 4

Calculando
\sqrt{1{,}01}\approx1{,}00499
e logo
f_1'=1{,}00499\times245\;\mathrm{Hz}\approx246{,}22\;\mathrm{Hz}.
Arredondando, \displaystyle f_1'\approx246{,}2\;\mathrm{Hz}.

Resposta

(a) \displaystyle v\approx311\;\mathrm{m/s}.
(b) \displaystyle f_1'\approx246{,}2\;\mathrm{Hz}.

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