20^{\underline{a}} Questão: A distância entre dois ventres adjacentes de uma onda estacionária sobre uma corda é igual a 15,0 \mathrm{~cm}. Uma partícula situada em um ventre oscila com MHS com amplitude igual a 0,850 \mathrm{~cm} e período igual a 0,0750 \mathrm{~s}. A corda está sobre o eixo Ox e se encontra fixa no ponto x=0. (a) Qual a distância entre nós adjacentes? (b) Qual o comprimento de onda, a amplitude e a velocidade de duas ondas progressivas que adquirem essa configuração? (c) Calcule as velocidades transversais máxima e mínima de um ponto em um ventre. (d) Qual é a menor distância ao longo da corda entre um nó e um ventre?

Passo 1

O enunciado descreve uma onda estacionária sobre uma corda fixa em x=0. A distância entre dois ventres adjacentes vale 15,0 cm. Num ventre, cada ponto faz MHS com amplitude A_{\rm est}=0,850 cm e período T=0,0750 s. Precisamos usar as propriedades de onda estacionária (distâncias em função de \lambda) e as relações de MHS ( \omega=2\pi/T, velocidade transversa v_y=\dot y) para:
(a) distância entre nós adjacentes;
(b) comprimento de onda \lambda, amplitude e velocidade das ondas progressivas que se somam;
(c) velocidades transversais máxima e mínima num ventre;
(d) menor distância nó–ventre.

Passo 2

Numa onda estacionária, ventres consecutivos estão separados por meio comprimento de onda, isto é,
\frac{\lambda}{2}=15{,}0\text{ cm}
Logo,
\lambda=2\times15{,}0\text{ cm}=30{,}0\text{ cm}=0{,}300\text{ m}.

Passo 3

Nós consecutivos também estão separados por \lambda/2. Assim, a distância entre nós adjacentes é
\frac{\lambda}{2}=\frac{0{,}300\text{ m}}{2}=0{,}150\text{ m}.

Passo 4

Uma onda estacionária de amplitude A_{\rm est} resulta da superposição de duas ondas viajantes de mesma amplitude A, com
A_{\rm est}=2A\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{A_{\rm est}}{2}=\frac{0{,}850\text{ cm}}{2}=0{,}425\text{ cm}.
A velocidade de cada onda viajante é
v=\frac{\lambda}{T}=\frac{0{,}300\text{ m}}{0{,}0750\text{ s}}=4{,}00\text{ m/s}.

Passo 5

Num ventre, a posição vertical segue
y(t)=A_{\rm est}\sin(\omega t),\quad \omega=\frac{2\pi}{T}.
A velocidade transversa é
v_y(t)=\dot y(t)=A_{\rm est}\,\omega\cos(\omega t).
O valor máximo em módulo ocorre quando \cos(\omega t)=\pm1, ou seja,
v_{y,\max}=A_{\rm est}\,\omega =0{,}00850\text{ m}\times\frac{2\pi}{0{,}0750\text{ s}} \approx0{,}71\text{ m/s}.
O valor mínimo (zero) ocorre quando \cos(\omega t)=0, logo
v_{y,\min}=0.

Passo 6

A menor distância entre um nó e um ventre é \lambda/4:
\frac{\lambda}{4}=\frac{0{,}300\text{ m}}{4}=0{,}0750\text{ m}.

Resposta

(a) 0{,}150 m
(b) \lambda=0{,}300 m; amplitude de cada onda progressiva A=0{,}425 cm; velocidade v=4{,}00 m/s
(c) v_{y,\max}=0{,}71 m/s e v_{y,\min}=0
(d) 0{,}0750 m

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