24.14 The Stokes-Einstein equation is often used to estimate the molecular diameter of large spherical molecules from the molecular diffusion coefficient. The measured molecular diffusion coefficient of the serum albumin (an important blood protein) in water at infinite dilution is 5.94 \times 10^{-7} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} at 293 K . Estimate the mean diameter of a serum albumin molecule. The known value is 7.22 nm .

Passo 1

O enunciado pede para estimar o diâmetro médio de uma molécula esférica de albumina a partir do seu coeficiente de difusão em água a 293 K, usando a equação de Stokes–Einstein. Vamos usar a constante de Boltzmann \,k_B, a viscosidade dinâmica da água \,\eta e o coeficiente de difusão medido \,D.

Passo 2

A equação de Stokes–Einstein para uma esfera de raio \,r em um fluido isotrópico é
D \;=\;\frac{k_B\,T}{6\,\pi\,\eta\,r}
Isolando \,r, temos
r \;=\;\frac{k_B\,T}{6\,\pi\,\eta\,D}

Passo 3

Agora substituímos os valores em unidades cgs (centímetro–grama–segundo): \,k_B = 1{,}3806\times10^{-16}\,\mathrm{erg/K}, \,T = 293\,\mathrm{K}, \,\eta \approx 0{,}0100\,\mathrm{g/(cm\cdot s)} (viscosidade da água a 20\circC), \,D = 5{,}94\times10^{-7}\,\mathrm{cm^2/s}.
Calculamos o numerador e o denominador:
k_B\,T = 1{,}3806\times10^{-16}\times293 \approx 4{,}04\times10^{-14}\,\mathrm{g\cdot cm^2/s^2}
6\pi\,\eta\,D = 6\times3{,}1416\times0{,}01\times5{,}94\times10^{-7}\approx1{,}12\times10^{-7}\,\mathrm{g/(cm\cdot s)\cdot cm^2/s}
Logo,
r = \frac{4{,}04\times10^{-14}}{1{,}12\times10^{-7}}\approx3{,}61\times10^{-7}\,\mathrm{cm}

Passo 4

Convertendo o raio em nanômetros e obtendo o diâmetro:
r = 3{,}61\times10^{-7}\,\mathrm{cm}\times10^{7}\,\frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{cm}} = 3{,}61\,\mathrm{nm}
\text{diâmetro} = 2\,r = 2\times3{,}61\,\mathrm{nm} = 7{,}22\,\mathrm{nm}â

Resposta

O diâmetro médio estimado da molécula de albumina é aproximadamente 7{,}22\,\mathrm{nm}.

Exercícios relacionados