24.20 The case-hardening of mild steel involves the diffusion of carbon into iron. Estimate the diffusion coefficient for carbon diffusing into fcc iron and bcc iron at 1000 K . Learn about the structures of fcc and bcc iron in a materials science textbook, and then explain why the diffusion coefficients are different.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o coeficiente de difusão de carbono em ferro a 1000 K nas estruturas cúbica de corpo centrado (bcc, ferrita) e cúbica de faces centradas (fcc, austenita). O conteúdo principal é difusão intersticial, que obedece à lei de Arrhenius:
D = D_0 \exp\Bigl(-\frac{Q}{R\,T}\Bigr)
onde D_0 é o fator pré-exponencial, Q é a energia de ativação para difusão, R a constante dos gases 8{,}314\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T a temperatura em kelvin. Para estimar D precisamos de valores de D_0 e Q obtidos em livros de ciência dos materiais.

Passo 2

Para ferro bcc (ferrita), valores típicos na literatura são
D_{0,\text{bcc}} = 2{,}5\times10^{-5}\;\mathrm{m^2/s}, \quad Q_{\text{bcc}} = 84\times10^{3}\;\mathrm{J/mol}.
Substituindo na equação de Arrhenius:

Passo 3

D_{\text{bcc}}(1000\;\mathrm{K}) =2{,}5\times10^{-5} \exp\!\Bigl(-\frac{84\times10^{3}}{8{,}314\times1000}\Bigr).
Calculemos o expoente:
-\frac{84\times10^{3}}{8{,}314\times1000}\approx -10,1,
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D_{\text{bcc}}(1000\;\mathrm{K}) \approx 2{,}5\times10^{-5}\times e^{-10,1} \approx 2{,}5\times10^{-5}\times4{,}1\times10^{-5} \approx1{,}0\times10^{-9}\;\mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Para ferro fcc (austenita), valores típicos são
D_{0,\text{fcc}} = 1{,}5\times10^{-7}\;\mathrm{m^2/s}, \quad Q_{\text{fcc}} = 140\times10^{3}\;\mathrm{J/mol}.
Aplicando Arrhenius:

Passo 5

D_{\text{fcc}}(1000\;\mathrm{K}) =1{,}5\times10^{-7} \exp\!\Bigl(-\frac{140\times10^{3}}{8{,}314\times1000}\Bigr).
O expoente é
-\frac{140\times10^{3}}{8{,}314\times1000}\approx -16,8,
então
D_{\text{fcc}}(1000\;\mathrm{K}) \approx 1{,}5\times10^{-7}\times e^{-16,8} \approx 1{,}5\times10^{-7}\times5\times10^{-8} \approx7,5\times10^{-15}\;\mathrm{m^2/s}.

Passo 6

A grande diferença D_{\text{bcc}}\sim10^{-9} vs. D_{\text{fcc}}\sim10^{-14} decorre de dois fatores estruturais:
  1. Na bcc os sítios intersticiais (tetragonais e octaédricos) são maiores e mais conectados, facilitando o salto dos átomos de carbono.
  2. A energia de ativação Q_{\text{bcc}} é menor que Q_{\text{fcc}}, refletindo trajetórias menos apertadas e barreiras energéticas menores para a migração intersticial em ferrita.

Resposta

D_{\text{bcc}}(1000\;\mathrm{K})\approx1\times10^{-9}\;\mathrm{m^2/s} D_{\text{fcc}}(1000\;\mathrm{K})\approx8\times10^{-15}\;\mathrm{m^2/s}

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