24.29 The diffusion rate of the enzyme ribonuclease into a porous chromatography support was measured at 298 K , and an effective diffusion coefficient of 5.0 \times 10^{-7} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} was backed out of the data. Estimate the mean pore diameter of the support. The molecular diffusion coefficient of ribonuclease in water is 1.19 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} at 298 K , and the diameter of the molecule is 3.6 nm .

Passo 1

O enunciado dá o coeficiente de difusão efetivo D_{\mathrm{eff}}=5{,}0\times10^{-7},c m^{2}/s de ribonuclease num suporte poroso a 298 K, o coeficiente de difusão em meio líquido D_0=1{,}19\times10^{-6},c m^{2}/s e o diâmetro da molécula d_m=3{,}6,nm. Pede-se estimar o diâmetro médio dos poros. O conteúdo é difusão impedida em meios porosos, usando a equação de Renkin para a redução de difusividade.

Passo 2

Em meios porosos com poros cilíndricos de raio R, a razão entre o coeficiente efetivo e o coeficiente em meio livre é dada por
\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D_0}=f(\lambda),
onde \lambda é o raio relativo da molécula ao raio do poro, \lambda=a/R, e a=d_m/2 é o raio da molécula.

Passo 3

A equação de Renkin para tubos cilíndricos é
f(\lambda)=(1-\lambda)^2\bigl(1-2{,}104\,\lambda+2{,}09\,\lambda^3-0{,}95\,\lambda^5\bigr).

Passo 4

Calculamos o raio da molécula
a=\frac{d_m}{2}=\frac{3{,}6\text{ nm}}{2}=1{,}8\text{ nm}.
Queremos \lambda=a/R tal que f(\lambda)=D_{\mathrm{eff}}/D_0.

Passo 5

A razão experimental é
\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D_0} =\frac{5{,}0\times10^{-7}}{1{,}19\times10^{-6}} \approx0{,}42.

Passo 6

Fazendo tentativas numéricas na equação de Renkin encontra-se \lambda\approx0{,}18, pois
f(0{,}18)\approx0{,}426\approx0{,}42.

Passo 7

Com \lambda=a/R vem
R=\frac{a}{\lambda}=\frac{1{,}8\text{ nm}}{0{,}18}\approx10\text{ nm},
logo o diâmetro médio dos poros é
d=2R\approx20\text{ nm}.

Resposta

O diâmetro médio dos poros é aproximadamente 20,nm.

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