(24.50) Uma esfera condutora oca de raio interno
e raio externo
tem uma carga resultante
. Uma carga pontual
é colocada no centro dessa esfera. Determinar a densidade superficial de carga sobre (a) a superfície interna da esfera. Resposta: (a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma esfera condutora oca com raio interno $ a $ e raio externo $ b $. Essa esfera tem uma carga total $ Q $. Além disso, uma carga pontual $ q $ é colocada no centro da esfera. A pergunta é: Qual é a densidade superficial de carga na superfície interna da esfera?
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Eletrostática, especificamente sobre esferas condutoras e distribuição de carga. Vamos usar as leis de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso significa que qualquer carga dentro do condutor reside apenas nas superfícies internas e externas.
Como há uma carga pontual $ q $ no centro da esfera, essa carga vai induzir uma carga igual e oposta na superfície interna da esfera para manter o campo elétrico dentro do condutor nulo. Então, a superfície interna da esfera vai ter uma carga $ -q $.
Passo 3
Agora, para encontrar a densidade superficial de carga na superfície interna, precisamos distribuir essa carga $ -q $ uniformemente sobre a área dessa superfície.
A densidade superficial de carga $ \sigma $ é definida como a carga $ Q $ dividida pela área $ A $ sobre a qual ela está distribuída. A área de uma esfera é dada por $ A = 4\pi r^2 $, onde $ r $ é o raio da esfera.
Passo 4
Aplicando isso à nossa superfície interna com raio $ a $:
Aqui, usamos $ Q = -q $ porque a carga na superfície interna é igual e oposta à carga pontual no centro.
Resposta
(a) A densidade superficial de carga sobre a superfície interna da esfera é
.