(24.51) Considere um sistema composto de duas esferas condutoras ocas. A esfera interna tem carga total -Q, e a externa, +3 Q. As cargas estão em equilíbrio eletrostático. Usando a Lei de Gauss, encontre as cargas e os campos elétricos em todo o lugar. Resposta: E=0, dentro da esfera interna; E=-k Qr^2, entre as duas esferas, apontando radialmente para dentro; E=0, dentro da esfera externa; E=k 2 Qr^2, fora do sistema, apontando radialmente para fora. Carga: -Q, sobre a superfície exterior da esfera interna; +Q, sobre a superfície interior da esfera externa; +2 Q, sobre a superfície exterior da esfera externa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com duas esferas condutoras ocas: a interna tem carga total de -Q e a externa, +3Q. Queremos descobrir como as cargas se distribuem e quais são os campos elétricos em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em situações de simetria esférica e como as cargas se distribuem em condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas se distribuem na superfície. Além disso, o campo elétrico dentro de um condutor é zero. Vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.

Passo 3

Vamos analisar a distribuição das cargas. Temos duas esferas:
  1. Esfera Interna:
    • Carga total: -Q
    • Como é um condutor, essa carga -Q vai se distribuir na superfície externa da esfera interna.
  2. Esfera Externa:
    • Carga total: +3Q
    • Parte dessa carga vai se distribuir na superfície interna devido à influência da esfera interna, e o restante na superfície externa.

Passo 4

Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar a distribuição das cargas na esfera externa.
  • Consideremos uma superfície gaussiana dentro do condutor da esfera externa.
  • Sabemos que o campo elétrico dentro do condutor é zero.
  • Isso significa que a carga na superfície interna da esfera externa deve cancelar o campo produzido pela esfera interna.
Portanto, a carga na superfície interna da esfera externa é +Q. A carga restante na superfície externa será +3Q - (+Q) = +2Q.

Passo 5

Agora, vamos determinar os campos elétricos em cada região:
  1. Dentro da Esfera Interna ( r < Rinterna):
    • Não há carga dentro de um condutor oco.
    • Portanto, E = 0.
  2. Entre as Duas Esferas ( Rinterna < r < Rexterna):
    • A carga envolvida é -Q da esfera interna.
    • Aplicando a Lei de Gauss: E = k cdot (-Q)r^2, direcionado para dentro.
  3. Dentro da Esfera Externa ( r < Rexterna):
    • Dentro do condutor, o campo elétrico é zero.
    • Portanto, E = 0.
  4. Fora do Sistema ( r > Rexterna):
    • A carga total efetiva é -Q + 3Q = +2Q.
    • Aplicando a Lei de Gauss: E = k cdot 2Qr^2, direcionado para fora.

Resposta

As cargas e os campos elétricos são:
  • Cargas:
    • -Q na superfície externa da esfera interna.
    • +Q na superfície interna da esfera externa.
    • +2Q na superfície externa da esfera externa.
  • Campos Elétricos:
    • E = 0 dentro da esfera interna.
    • E = -k Qr^2 entre as duas esferas, apontando radialmente para dentro.
    • E = 0 dentro da esfera externa.
    • E = k 2Qr^2 fora do sistema, apontando radialmente para fora.

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