(24.51) Considere um sistema composto de duas esferas condutoras ocas. A esfera interna tem carga total
, e a externa,
. As cargas estão em equilíbrio eletrostático. Usando a Lei de Gauss, encontre as cargas e os campos elétricos em todo o lugar. Resposta:
, dentro da esfera interna;
, entre as duas esferas, apontando radialmente para dentro;
, dentro da esfera externa;
, fora do sistema, apontando radialmente para fora. Carga:
, sobre a superfície exterior da esfera interna;
, sobre a superfície interior da esfera externa;
, sobre a superfície exterior da esfera externa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com duas esferas condutoras ocas: a interna tem carga total de
e a externa,
. Queremos descobrir como as cargas se distribuem e quais são os campos elétricos em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em situações de simetria esférica e como as cargas se distribuem em condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas se distribuem na superfície. Além disso, o campo elétrico dentro de um condutor é zero. Vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.
Passo 3
Vamos analisar a distribuição das cargas. Temos duas esferas:
-
Esfera Interna:
- Carga total:
- Como é um condutor, essa carga
vai se distribuir na superfície externa da esfera interna.
- Carga total:
-
Esfera Externa:
- Carga total:
- Parte dessa carga vai se distribuir na superfície interna devido à influência da esfera interna, e o restante na superfície externa.
- Carga total:
Passo 4
Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar a distribuição das cargas na esfera externa.
- Consideremos uma superfície gaussiana dentro do condutor da esfera externa.
- Sabemos que o campo elétrico dentro do condutor é zero.
- Isso significa que a carga na superfície interna da esfera externa deve cancelar o campo produzido pela esfera interna.
Portanto, a carga na superfície interna da esfera externa é
. A carga restante na superfície externa será
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os campos elétricos em cada região:
-
Dentro da Esfera Interna (
): - Não há carga dentro de um condutor oco.
- Portanto,
.
-
Entre as Duas Esferas (
): - A carga envolvida é
da esfera interna. - Aplicando a Lei de Gauss:
, direcionado para dentro.
- A carga envolvida é
-
Dentro da Esfera Externa (
): - Dentro do condutor, o campo elétrico é zero.
- Portanto,
.
-
Fora do Sistema (
): - A carga total efetiva é
. - Aplicando a Lei de Gauss:
, direcionado para fora.
- A carga total efetiva é
Resposta
As cargas e os campos elétricos são:
-
Cargas:
-
na superfície externa da esfera interna. -
na superfície interna da esfera externa. -
na superfície externa da esfera externa.
-
-
Campos Elétricos:
-
dentro da esfera interna. -
entre as duas esferas, apontando radialmente para dentro. -
dentro da esfera externa. -
fora do sistema, apontando radialmente para fora.
-