24 Uma carga total Q é distribuída uniformemente por uma casca esférica de raios interno e externo r1 e r2, respectivamente. Mostre que o campo elétrico devido à carga é
E (r)=0, (rr2)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma casca esférica que vai de raio interno oint Ecdot dA ;=;Qintvarepsilon0 até raio externo , com carga total distribuída de forma uniforme dentro dessa “casca”. O assunto é eletrostática, mais especificamente usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico em três regiões:
  1. Dentro do buraco ( ).
  2. Dentro do material da casca ( ).
  3. Fora da casca ( ).
O que vamos precisar:
  • Entender simetria esférica;
  • Conhecer a Lei de Gauss:
  • Calcular densidade volumétrica de carga e a carga envolvida em cada caso.

Passo 2

Região Qint=0 .
Aqui nosso “gaussian surface” é uma esfera de raio E(r)cdot 4pi r^2 ;=;0varepsilon0 Longrightarrow E(r)=0 . Dentro dessa bola não há carga nenhuma (toda carga está entre e ). Então:
Pela Lei de Gauss,

Passo 3

Região rho=QVolume total da casca =Qtfrac43pil(r2^3-r1^3r) .
Agora a esfera de raio Qint =rho;times;43pil(r^3-r1^3r) =Qtfrac43pil(r2^3-r1^3r) cdot43pil(r^3-r1^3r) =;Q,r^3-r1^3r2^3-r1^3 vai englobar parte da casca, mas não toda. Primeiro achamos a densidade volumétrica de carga:
E(r);4pi r^2 =Qintvarepsilon0 =Qvarepsilon0,r^3-r1^3r2^3-r1^3
A carga dentro da esfera de raio E(r) =Q4pivarepsilon0,r^2 ;r^3-r1^3r2^3-r1^3 (mas só contando o material entre e ) é
Aplicando Gauss:
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Passo 4

Região Qint=Q Longrightarrow E(r);4pi r^2 =Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=Q4pivarepsilon0,r^2 .
Agora a superfície gaussiana engloba toda a carga . Então

Resposta

Reunindo tudo:
0, & rr2

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