5.24 (Munson) A velocidade da superfície livre da água infiltrada no porão de um edifício é igual a 25,4 \mathrm{~mm} por hora. A área do chão do porão é 139,4 \mathrm{~m}^{2}. Qual deve ser a capacidade da bomba (vazão volumétrica) para que (a) o nível da água no porão se mantenha constante e (b) reduzir o nível da água no porão com velocidade de 76,2 \mathrm{~mm} por hora (admita que a vazão da água infiltrada é a mesma do item anterior). (R.: (a) 3,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}; (b) 14,1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} )

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Taxa de infiltração (velocidade de subida do nível por infiltração): \,25,4\\ \mathrm{mm}/\mathrm{h}\,.
    • Área do piso do porão: \,139,4\\ \mathrm{m}^{2}\,.
    • Para o item (b) diz que a vazão de infiltração é a mesma do item (a) e pede reduzir o nível com velocidade de \,76,2\\ \mathrm{mm}/\mathrm{h}\,.
  • Perguntas:
    • (a) Qual deve ser a capacidade da bomba (vazão volumétrica) para que o nível da água no porão se mantenha constante?
    • (b) Qual deve ser a capacidade da bomba para que o nível da água diminua com velocidade de \,76,2\\ \mathrm{mm}/\mathrm{h}\,?

Passo 2

Entendendo o modelo físico e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas no estilo “caneta na prova”):
  • A vazão volumétrica que entra ou sai do volume ocupando o porão é dada por área multiplicada pela velocidade vertical do nível. Em símbolos:
    Q = A \cdot v
    onde:
    • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h},
    • A é a área da superfície do porão em \mathrm{m}^{2},
    • v é a velocidade vertical do nível em \mathrm{m}/\mathrm{h}.
  • Observação importante sobre sinais e soma de vazões:
    • A infiltração contribui com uma vazão positiva para encher o porão: Q_{\text{in}}=A\cdot v_{\text{in}}.
    • A bomba retira água com uma vazão Q_{\text{bomba}}. Para que o nível fique constante, a bomba deve retirar exatamente o que entra: Q_{\text{bomba}}=Q_{\text{in}}.
    • Para que o nível diminua com velocidade v_{\text{des}} (positiva, em magnitude), a bomba deve retirar a infiltração mais a quantidade necessária para baixar o nível: Q_{\text{bomba}}=A\cdot(v_{\text{in}}+v_{\text{des}}).
  • Sempre garanta que as unidades de v estejam em \mathrm{m}/\mathrm{h} quando multiplicar por A em \mathrm{m}^{2}.

Passo 3

Converter unidades de milímetros por hora para metros por hora:
  • Para o item (a): \,v_{\text{in}}=25,4\\ \mathrm{mm}/\mathrm{h} = 25,4\div 1000\\ \mathrm{m}/\mathrm{h} = 0,0254\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}. Em notação pedida: v_{\text{in}} = 0,0254\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.

Passo 4

Calcular a vazão de infiltração (o que a bomba precisa retirar para manter o nível constante — item (a)):
  • Usando Q=A\cdot v, Q_{\text{in}} = 139,4\\ \mathrm{m}^{2} \times 0,0254\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
  • Faça a multiplicação passo a passo (sem calculadora, dividindo em partes é uma boa estratégia): 139,4 \times 0,0254 = 139,4 \times (0,02 + 0,005 + 0,0004).Calculando cada parte: 139,4\times 0,02 = 2,788,
139,4\times 0,005 = 0,697,
139,4\times 0,0004 = 0,05576.
Somando:
Q_{\text{in}} = 2,788 + 0,697 + 0,05576 = 3,54076\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Arredondando de forma prática (uma casa decimal é adequada em vazões de bomba): Q_{\text{in}}\approx 3,5\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.

Passo 5

Calcular a vazão necessária para reduzir o nível com velocidade de \,76,2\\ \mathrm{mm}/\mathrm{h} (item (b)):
  • Primeiro converter \,76,2\\ \mathrm{mm}/\mathrm{h} para \mathrm{m}/\mathrm{h}: v_{\text{des}} = 76,2\\ \mathrm{mm}/\mathrm{h} = 0,0762\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
  • A bomba precisa remover a infiltração mais o volume correspondente à diminuição desejada: Q_{\text{bomba}} = A\cdot\bigl(v_{\text{in}} + v_{\text{des}}\bigr).
  • Somando as velocidades (em \mathrm{m}/\mathrm{h}): v_{\text{in}} + v_{\text{des}} = 0,0254 + 0,0762 = 0,1016\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
  • Multiplicando pela área: Q_{\text{bomba}} = 139,4\\ \mathrm{m}^{2} \times 0,1016\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.Calcule passo a passo: 139,4 \times 0,1016 = 139,4 \times (0,1 + 0,0016).
139,4\times 0,1 = 13,94,
139,4\times 0,0016 = 0,22304.
Somando:
Q_{\text{bomba}} = 13,94 + 0,22304 = 14,16304\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Arredondando de forma prática: Q_{\text{bomba}}\approx 14,1\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.

Passo 6

Verificação rápida de coerência e interpretação final (dica para a prova):
  • Faz sentido que a vazão para baixar o nível seja bem maior que a vazão para manter constante, porque além de compensar a infiltração precisa “puxar” água extra para fazer o nível descer.
  • Nas provas, mostre sempre as conversões de unidades e explique por que somou as velocidades (porque a bomba tem de vencer tanto a infiltração quanto gerar o descenso desejado).

Resposta

(a) 3,5\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}
(b) 14,1\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}

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