5.24 (Munson) A velocidade da superfície livre da água infiltrada no porão de um edifício é igual a
por hora. A área do chão do porão é
. Qual deve ser a capacidade da bomba (vazão volumétrica) para que (a) o nível da água no porão se mantenha constante e (b) reduzir o nível da água no porão com velocidade de
por hora (admita que a vazão da água infiltrada é a mesma do item anterior). (R.: (a)
; (b)
)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
- Taxa de infiltração (velocidade de subida do nível por infiltração):
. - Área do piso do porão:
. - Para o item (b) diz que a vazão de infiltração é a mesma do item (a) e pede reduzir o nível com velocidade de
.
- Taxa de infiltração (velocidade de subida do nível por infiltração):
-
Perguntas:
- (a) Qual deve ser a capacidade da bomba (vazão volumétrica) para que o nível da água no porão se mantenha constante?
- (b) Qual deve ser a capacidade da bomba para que o nível da água diminua com velocidade de
?
Passo 2
Entendendo o modelo físico e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas no estilo “caneta na prova”):
-
A vazão volumétrica que entra ou sai do volume ocupando o porão é dada por área multiplicada pela velocidade vertical do nível. Em símbolos:onde:
-
é a vazão volumétrica em , -
é a área da superfície do porão em , -
é a velocidade vertical do nível em .
-
-
Observação importante sobre sinais e soma de vazões:
- A infiltração contribui com uma vazão positiva para encher o porão:
. - A bomba retira água com uma vazão
. Para que o nível fique constante, a bomba deve retirar exatamente o que entra: . - Para que o nível diminua com velocidade
(positiva, em magnitude), a bomba deve retirar a infiltração mais a quantidade necessária para baixar o nível: .
- A infiltração contribui com uma vazão positiva para encher o porão:
-
Sempre garanta que as unidades de
estejam em quando multiplicar por em .
Passo 3
Converter unidades de milímetros por hora para metros por hora:
- Para o item (a):
Em notação pedida:
Passo 4
Calcular a vazão de infiltração (o que a bomba precisa retirar para manter o nível constante — item (a)):
- Usando
, - Faça a multiplicação passo a passo (sem calculadora, dividindo em partes é uma boa estratégia):
Calculando cada parte:
Somando:
- Arredondando de forma prática (uma casa decimal é adequada em vazões de bomba):
Passo 5
Calcular a vazão necessária para reduzir o nível com velocidade de
(item (b)):
- Primeiro converter
para : - A bomba precisa remover a infiltração mais o volume correspondente à diminuição desejada:
- Somando as velocidades (em
): - Multiplicando pela área:
Calcule passo a passo:
Somando:
- Arredondando de forma prática:
Passo 6
Verificação rápida de coerência e interpretação final (dica para a prova):
- Faz sentido que a vazão para baixar o nível seja bem maior que a vazão para manter constante, porque além de compensar a infiltração precisa “puxar” água extra para fazer o nível descer.
- Nas provas, mostre sempre as conversões de unidades e explique por que somou as velocidades (porque a bomba tem de vencer tanto a infiltração quanto gerar o descenso desejado).
Resposta
(a)
(b)