5.22 (Munson) Estime o tempo necessário para encher uma piscina cilíndrica (diâmetro e profundidade respectivamente iguais a 5 m e
) com uma mangueira de jardim. Admita que a vazão de água na mangueira é igual a 1,0 litros/s. (R.:8,2 h)
Passo 1
O enunciado pede para estimar o tempo necessário para encher uma piscina cilíndrica com diâmetro e profundidade dados, usando uma mangueira com vazão conhecida. Dados fornecidos:
- diâmetro da piscina:
(peguei do enunciado); - profundidade (altura) da piscina:
(peguei do enunciado); - vazão da mangueira:
(peguei do enunciado).
O que precisamos encontrar: o tempo total
(em horas) para encher a piscina inteira com essa vazão.
Passo 2
Fórmula do volume do cilindro. A piscina é um cilindro, cujo volume
é dado por
onde
é o raio da base e
é a altura (profundidade). Explicando cada símbolo:
-
é a constante geométrica ; -
é o raio da base (metade do diâmetro); -
é a altura do cilindro, aqui a profundidade da piscina.
Vamos primeiro calcular o raio a partir do diâmetro.
Passo 3
Cálculo do raio e substituição na fórmula:
- diâmetro
logo o raio é
- altura
.
Substituindo na fórmula do volume:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 4
Avaliação numérica do volume (aproximação usando
):
(ou manter a forma exata
.)
Passo 5
Converter a vazão para unidades compatíveis. A vazão dada é
. Como
, temos
Passo 6
Tempo necessário: o tempo
é o volume dividido pela vazão,
Usando a forma exata
e
,
Agora convertemos para horas:
, então
Passo 7
Interpretação e arredondamento final:
. Arredondando para duas casas significativas conforme o enunciado de referência, obtemos
. Boa notícia: isso bate com a resposta indicada.