5.22 (Munson) Estime o tempo necessário para encher uma piscina cilíndrica (diâmetro e profundidade respectivamente iguais a 5 m e 1,5 \mathrm{~m} ) com uma mangueira de jardim. Admita que a vazão de água na mangueira é igual a 1,0 litros/s. (R.:8,2 h)

Passo 1

O enunciado pede para estimar o tempo necessário para encher uma piscina cilíndrica com diâmetro e profundidade dados, usando uma mangueira com vazão conhecida. Dados fornecidos:
  • diâmetro da piscina: 5\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
  • profundidade (altura) da piscina: 1{,}5\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
  • vazão da mangueira: 1{,}0\\ \mathrm{L/s} (peguei do enunciado).
O que precisamos encontrar: o tempo total t (em horas) para encher a piscina inteira com essa vazão.

Passo 2

Fórmula do volume do cilindro. A piscina é um cilindro, cujo volume V é dado por
V=\pi r^{2} h,
onde r é o raio da base e h é a altura (profundidade). Explicando cada símbolo:
  • \pi é a constante geométrica \approx 3{,}1416;
  • r é o raio da base (metade do diâmetro);
  • h é a altura do cilindro, aqui a profundidade da piscina.
Vamos primeiro calcular o raio a partir do diâmetro.

Passo 3

Cálculo do raio e substituição na fórmula:
  • diâmetro =5\\ \mathrm{m} logo o raio é
r=\frac{5}{2}=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • altura h=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Substituindo na fórmula do volume:
V=\pi (2{,}5)^{2}(1{,}5).
Calcule passo a passo:
(2{,}5)^{2}=6{,}25, \qquad 6{,}25\times1{,}5=9{,}375.
Portanto
V=9{,}375\pi\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Avaliação numérica do volume (aproximação usando \pi\approx3{,}1416):
V\approx9{,}375\times3{,}1416=29{,}45\\ \mathrm{m^{3}}\quad(\text{aprox.}).
(ou manter a forma exata V=9{,}375\pi\\ \mathrm{m^{3}}.)

Passo 5

Converter a vazão para unidades compatíveis. A vazão dada é \,1{,}0\\ \mathrm{L/s}. Como 1\\ \mathrm{L}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}, temos
Q=1{,}0\\ \mathrm{L/s}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0{,}001\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 6

Tempo necessário: o tempo t é o volume dividido pela vazão,
t=\frac{V}{Q}.
Usando a forma exata V=9{,}375\pi\\ \mathrm{m^{3}} e Q=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s},
t=\frac{9{,}375\pi}{1{,}0\times10^{-3}}\\ \mathrm{s}=9{,}375\pi\times10^{3}\\ \mathrm{s}=9375\pi\\ \mathrm{s}.
Agora convertemos para horas: 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, então
t=\frac{9375\pi}{3600}\\ \mathrm{h}=\frac{375\pi}{144}\\ \mathrm{h}\approx8{,}18\\ \mathrm{h}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final: t\approx8{,}18\\ \mathrm{h}. Arredondando para duas casas significativas conforme o enunciado de referência, obtemos t\approx8{,}2\\ \mathrm{h}. Boa notícia: isso bate com a resposta indicada.

Resposta

8{,}2\\ \mathrm{h}

Exercícios relacionados