6.35 (Çengel) Um jato de água horizontal com 5 cm de diâmetro e velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} atinge uma placa plana que se move na mesma direção do jato à velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A água se espalha em todas as direções do plano da placa. Qual a força que a corrente de água exerce sobre a placa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a força exercida pela corrente de água sobre a placa.
  • Diâmetro do jato: D=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do jato (referencial do solo): V_{\text{jato}}=40\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade da placa (na mesma direção do jato): V_{\text{placa}}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • A água se espalha em todas as direções no plano da placa após o impacto.
  • Densidade da água (valor padrão, assumido): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O que se pede:
  • A força total \;F\; que a corrente de água exerce sobre a placa (direção horizontal).

Passo 2

Qual método usar e por quê (sem resolver ainda): vou usar o balanço de quantidade de movimento (princípio do momento linear) em regime estacionário para um volume de controle que envolve a região de impacto. Esse método é o mais direto quando temos um jato que traz massa e quantidade de movimento e depois sai com outra velocidade: a força na placa é a taxa de variação de quantidade de movimento do fluido na direção do jato. Em problemas de impacto de jato plano que espalha simetricamente, a componente horizontal resultante do escoamento após o choque corresponde à velocidade da placa (vou justificar isso no próximo passo).

Passo 3

Entendendo as velocidades relativas e a velocidade do fluxo após impacto:
  • Em relação ao solo, o jato entra com velocidade V_{\text{jato}}=40\\ \mathrm{m/s}.
  • A placa se move para a frente a V_{\text{placa}}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • No referencial da placa (onde a placa está estacionária), a velocidade do jato aproximando-se da placa é
V_{\text{rel}} = V_{\text{jato}} - V_{\text{placa}} = 40 - 10 = 30\\ \mathrm{m/s}.
  • O enunciado diz que a água se espalha em todas as direções do plano da placa. Isto significa que, no referencial da placa, após o impacto a componente de velocidade na direção normal ao plano (a direção do jato) é anulada — não há mais componente normal ao sair sobre a superfície; o escoamento fica tangencial ao plano. Portanto, em relação ao solo, a componente horizontal (na direção do jato) das partículas que saem corresponde à velocidade da placa, isto é, V_{\text{saida}}=V_{\text{placa}}=10\\ \mathrm{m/s}. Essa é a ideia física: o jato perde, por impacto, a diferença de velocidade relativa 30\\ \mathrm{m/s} na direção do jato.

Passo 4

Fórmula do balanço de quantidade de movimento e interpretação:
  • Definição da vazão mássica (massa por unidade de tempo) que entra no controle:
\dot{m} = \rho A V_{\text{jato}},
onde \rho é a densidade do fluido, A é a área da seção do jato e V_{\text{jato}} é a velocidade na direção do jato (todas as grandezas no referencial do solo). Aqui:
  • \dot{m} é a massa por segundo que atinge a placa.
  • A é a área do círculo do jato: A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}.
  • O balanço de quantidade de movimento na direção do jato, em regime estacionário e desprezando forças externas além da força do fluido na placa, dá:
F = \dot{m}\bigl(V_{\text{jato}} - V_{\text{saida}}\bigr),
onde F é a força que o jato exerce na placa na direção do jato (positiva no sentido do jato). A ideia é que cada quilograma de água que chega com velocidade V_{\text{jato}} sai com velocidade V_{\text{saida}}, então a variação de quantidade de movimento por segundo é \dot{m}(V_{\text{jato}}-V_{\text{saida}}), e isso precisa ser fornecido pela força sobre a placa.

Passo 5

Calcular a área da seção, a vazão mássica e a força, mostrando as contas passo a passo.
  • Área do jato:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0,05)^{2}}{4}=\pi\cdot 0,000625=0{,}001963495\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Vazão mássica:
\dot{m}=\rho A V_{\text{jato}}=1000\cdot 0{,}001963495\cdot 40=1000\cdot 0{,}0785398=78{,}5398\\ \mathrm{kg/s}.
  • Diferença de velocidade (entrada menos saída):
V_{\text{jato}}-V_{\text{saida}}=40-10=30\\ \mathrm{m/s}.
  • Força:
F=\dot{m}\bigl(V_{\text{jato}}-V_{\text{saida}}\bigr)=78{,}5398\cdot 30=2356{,}194\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: o valor calculado é a força média horizontal exercida pela corrente de água sobre a placa. Arredondando para três algarismos significativos:
F\approx 2{,}36\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.

Resposta

F=2{,}36\times10^{3}\\ \mathrm{N}

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