6.35 (Çengel) Um jato de água horizontal com 5 cm de diâmetro e velocidade de
atinge uma placa plana que se move na mesma direção do jato à velocidade de
. A água se espalha em todas as direções do plano da placa. Qual a força que a corrente de água exerce sobre a placa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a força exercida pela corrente de água sobre a placa.
- Diâmetro do jato:
. - Velocidade do jato (referencial do solo):
. - Velocidade da placa (na mesma direção do jato):
. - A água se espalha em todas as direções no plano da placa após o impacto.
- Densidade da água (valor padrão, assumido):
.
O que se pede:
- A força total
que a corrente de água exerce sobre a placa (direção horizontal).
Passo 2
Qual método usar e por quê (sem resolver ainda): vou usar o balanço de quantidade de movimento (princípio do momento linear) em regime estacionário para um volume de controle que envolve a região de impacto. Esse método é o mais direto quando temos um jato que traz massa e quantidade de movimento e depois sai com outra velocidade: a força na placa é a taxa de variação de quantidade de movimento do fluido na direção do jato. Em problemas de impacto de jato plano que espalha simetricamente, a componente horizontal resultante do escoamento após o choque corresponde à velocidade da placa (vou justificar isso no próximo passo).
Passo 3
Entendendo as velocidades relativas e a velocidade do fluxo após impacto:
- Em relação ao solo, o jato entra com velocidade
. - A placa se move para a frente a
. - No referencial da placa (onde a placa está estacionária), a velocidade do jato aproximando-se da placa é
- O enunciado diz que a água se espalha em todas as direções do plano da placa. Isto significa que, no referencial da placa, após o impacto a componente de velocidade na direção normal ao plano (a direção do jato) é anulada — não há mais componente normal ao sair sobre a superfície; o escoamento fica tangencial ao plano. Portanto, em relação ao solo, a componente horizontal (na direção do jato) das partículas que saem corresponde à velocidade da placa, isto é,
. Essa é a ideia física: o jato perde, por impacto, a diferença de velocidade relativa na direção do jato.
Passo 4
Fórmula do balanço de quantidade de movimento e interpretação:
- Definição da vazão mássica (massa por unidade de tempo) que entra no controle:
onde
é a densidade do fluido,
é a área da seção do jato e
é a velocidade na direção do jato (todas as grandezas no referencial do solo). Aqui:
-
é a massa por segundo que atinge a placa. -
é a área do círculo do jato: . -
O balanço de quantidade de movimento na direção do jato, em regime estacionário e desprezando forças externas além da força do fluido na placa, dá:
onde
é a força que o jato exerce na placa na direção do jato (positiva no sentido do jato). A ideia é que cada quilograma de água que chega com velocidade
sai com velocidade
, então a variação de quantidade de movimento por segundo é
, e isso precisa ser fornecido pela força sobre a placa.
Passo 5
Calcular a área da seção, a vazão mássica e a força, mostrando as contas passo a passo.
- Área do jato:
- Vazão mássica:
- Diferença de velocidade (entrada menos saída):
- Força:
Passo 6
Interpretação e arredondamento: o valor calculado é a força média horizontal exercida pela corrente de água sobre a placa. Arredondando para três algarismos significativos: