3.24 Um oscilador harmônico possui massa m=2 \mathrm{~kg} e rigidez k=4500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O suporte vibra na freqüência de 50 Hz com amplitude 0,5 \mathrm{~mm}. Determinar a amplitude da vibração resultante não amortecida.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola sem amortecimento submetido a uma excitação pela base, de amplitude \,Y=0,5\text{ mm} e frequência f=50\text{ Hz}. O objetivo é achar a amplitude estacionária X da massa. Na teoria de vibrações por excitação de base, a razão de amplitudes (transmissibilidade) é
T \;=\;\frac{X}{Y}\;=\;\frac{\bigl(\omega/\omega_n\bigr)^2}{\bigl|\,1-(\omega/\omega_n)^2\bigr|},
onde \omega_n é a frequência natural do sistema e \omega a frequência de excitação.

Passo 2

Calcular a frequência natural \omega_n. Como \omega_n=\sqrt{k/m}, temos
\omega_n \;=\;\sqrt{\frac{4500}{2}} \;=\;\sqrt{2250} \;\approx\;47{,}43\text{ rad/s}.

Passo 3

Calcular a frequência de excitação \omega e a razão adimensional r.
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 50 = 100\pi \approx 314{,}16\text{ rad/s},
r = \frac{\omega}{\omega_n} = \frac{314{,}16}{47{,}43}\approx 6{,}626.

Passo 4

Calcular a transmissibilidade T.
T = \frac{r^2}{\bigl|\,1 - r^2\bigr|} = \frac{6{,}626^2}{6{,}626^2 - 1} = \frac{43{,}90}{42{,}90} \approx 1{,}0233.

Passo 5

Calcular a amplitude resultante X = T\,Y. Convertendo Y=0,5\text{ mm}=0,0005\text{ m},
X = 1{,}0233 \times 0,0005 \approx 0,0005117\text{ m}
ou seja,
X \approx 0,5117\text{ mm}.

Resposta

A amplitude da vibração resultante é aproximadamente 0,512\text{ mm}.

Exercícios relacionados