3.25 Um oscilador harmônico possui massa m=15 \mathrm{~kg}, rigidez k=6 \times 10^{7} \mathrm{~N} / \mathrm{m} e fator de amortecimento \zeta=0,05. O suporte vibra na freqüência de 200 Hz com amplitude de 1 mm . Determinar
(a) a amplitude da vibração resultante;
(b) A amplitude da força transmitida.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor submetido a excitação do suporte (base) que vibra na frequência de f=200 Hz com amplitude de Y=1 mm. Temos:
m = 15 kg,
k = 6×10⁷ N/m,
ζ = 0,05,
f = 200 Hz → ω = 2πf,
Y = 1 mm = 0,001 m.
O que precisamos é a amplitude da vibração resultante do corpo (deslocamento absoluto) e a amplitude da força transmitida ao suporte. Vamos usar as fórmulas de transmissibilidade em regime permanente para excitação de base.

Passo 2

Calcular a frequência natural e a razão de frequências:
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
\omega = 2\pi f
\beta = \frac{\omega}{\omega_n}
Numericamente:
\omega_n = \sqrt{\frac{6\times10^7}{15}} = \sqrt{4{,}0\times10^6} = 2000\\ \text{rad/s}
\omega = 2\pi\cdot200 \approx 1256{,}64\\ \text{rad/s}
\beta = \frac{1256{,}64}{2000} \approx 0{,}6283

Passo 3

A amplitude X da vibração absoluta do corpo é dada por
\frac{X}{Y} = \sqrt{\frac{1 + (2\,\zeta\,\beta)^2}{(1-\beta^2)^2 + (2\,\zeta\,\beta)^2}}.
Substituindo os valores:
2\,\zeta\,\beta = 2\cdot0{,}05\cdot0{,}6283 \approx 0{,}06283,
(1-\beta^2) = 1 - (0{,}6283)^2 \approx 0{,}6052,
(2\,\zeta\,\beta)^2 \approx 0{,}003948,\quad(1-\beta^2)^2 \approx 0{,}3663.
Então
\frac{X}{Y} = \sqrt{\frac{1 + 0{,}003948}{0{,}3663 + 0{,}003948}} = \sqrt{\frac{1{,}003948}{0{,}370248}} \approx \sqrt{2{,}7128} \approx 1{,}647.
Portanto
X = Y\cdot1{,}647 = 0{,}001\\ \text{m}\times1{,}647 = 0{,}001647\\ \text{m} = 1{,}647\\ \text{mm}.

Passo 4

A amplitude da força transmitida F_t ao suporte (combinação mola+amortecedor) é
F_t = k\,Y\;\frac{\beta^2}{\sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\,\zeta\,\beta)^2}}.
Já temos \sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\zeta\beta)^2}\approx0{,}60851 e \beta^2\approx0{,}3948, logo
\frac{\beta^2}{\sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\,\zeta\,\beta)^2}} = \frac{0{,}3948}{0{,}60851} \approx 0{,}649.
Assim
F_t = 6\times10^7\;\text{N/m}\;\times0{,}001\;\text{m}\times0{,}649 \approx 3{,}89\times10^4\\ \text{N}.

Resposta

(a) X \approx 1{,}65\\ \text{mm}
(b) F_t \approx 3{,}9\times10^4\\ \text{N}

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