3.26 Um automóvel de massa m=1000 \mathrm{~kg} trafega com uma velocidade de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em uma superfície irregular com perfil senoidal de amplitude 60 mm e distância entre picos 0,3 \mathrm{~m}. Se a freqüência natural do carro é 0,8 \mathrm{~Hz}, com amortecimento crítico, determinar:
(a) a amplitude de vibração vertical;
(b) a força transmitida para o veículo.

Passo 1

O enunciado descreve um modelo de massa-mola-amortecedor submetido a excitação de base senoidal. Temos um automóvel de massa m=1000,kg que se desloca em velocidade v=80,km/h sobre uma irregularidade de perfil senoidal de amplitude z_0=60,mm e comprimento de onda \lambda=0{,}3,m. A frequência natural do conjunto é f_n=0{,}8,Hz e o amortecimento é crítico \zeta=1.
Precisamos determinar:
(a) a amplitude da oscilação vertical absoluta da carroceria;
(b) a amplitude da força transmitida ao veículo pela suspensão.

Passo 2

Convertemos unidades e calculamos as frequências angular natural e de excitação:
v = 80\;\mathrm{km/h} = \frac{80\cdot10^3}{3600}\;\mathrm{m/s} = 22{,}22\;\mathrm{m/s},
\omega_n = 2\pi f_n = 2\pi\cdot0{,}8 = 5{,}0265\;\mathrm{rad/s},
\Omega = 2\pi\frac{v}{\lambda} = 2\pi\;\frac{22{,}22}{0{,}3} \approx 465{,}5\;\mathrm{rad/s}.
Definimos a razão de freqüências r = \dfrac{\Omega}{\omega_n}\approx 92{,}6.

Passo 3

Para excitação de base senoidal z(t)=z_0\sin(\Omega t), a amplitude da resposta absoluta X é dada pela transmissibilidade
\frac{X}{z_0} = \frac{\sqrt{\,1 + (2\zeta r)^2\,}}% {\sqrt{\,(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2\,}}.
Substituindo \zeta=1 e r=92{,}6, obtemos
\frac{X}{z_0} \approx \frac{\sqrt{1 + (2\cdot1\cdot92{,}6)^2}}% {\sqrt{(1 - 92{,}6^2)^2 + (2\cdot1\cdot92{,}6)^2}} \approx 0{,}02161.
Como z_0=60,mm =0{,}06,m, a amplitude absoluta da vibração é
X = 0{,}06\;\mathrm{m}\;\times 0{,}02161 \approx 0{,}00130\;\mathrm{m} =1{,}30\;\mathrm{mm}.

Passo 4

A força transmitida pelo conjunto mola-amortecedor ao veículo é
F_t(t)=k\bigl(x(t)-z(t)\bigr) + c\bigl(\dot x(t)-\dot z(t)\bigr)
e, em regime estacionário, sua amplitude vale
F_{\max} = m\,\Omega^2\,z_0 \;\sqrt{\frac{\omega_n^4 + 4\zeta^2\omega_n^2\,\Omega^2}% {(\omega_n^2-\Omega^2)^2 + 4\zeta^2\omega_n^2\,\Omega^2}}.
Usando m=1000,kg, \omega_n=5{,}0265,rad/s, \Omega=465{,}5,rad/s, \zeta=1 e z_0=0{,}06,m, calculamos
F_{\max} \approx 2{,}8\times10^5\;\mathrm{N}.

Resposta

(a) X\approx1{,}30,mm
(b) F_{\max}\approx2{,}8\times10^5,N

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