24- Suponha que A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 7\end{array}\right].
(a) Encontre A^{-1}.
(b) Encontre \left(A^{T}\right)^{-1}. Qual a relação entre \left(A^{T}\right)^{-1} e A^{-1} ?

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & 7\end{pmatrix}
e pede (a) sua inversa A^{-1} e (b) a inversa da transposta \bigl(A^{T}\bigr)^{-1}, perguntando qual a relação entre ambas. Vamos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2.

Passo 2

Para qualquer matriz
M = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
seu determinante é
\det(M) = ad - bc
e, se \det(M)\neq0, sua inversa é
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando em A:
\det(A) = 1\cdot7 - 2\cdot3 = 7 - 6 = 1 \neq 0,
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A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}7 & -3 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & -3 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora, a transposta de A é
A^{T} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 7\end{pmatrix}.
Seu determinante é o mesmo ( \det(A^{T})=1), e pela mesma fórmula:
\bigl(A^{T}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix}7 & -2 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Note que
A^{-1} = \begin{pmatrix}7 & -3 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix} \quad\implies\quad \bigl(A^{-1}\bigr)^{T} = \begin{pmatrix}7 & -2 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix} = \bigl(A^{T}\bigr)^{-1}.
Esse é um resultado geral:
\bigl(A^{T}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{T}.

Resposta

(a) \displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix}7 & -3 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle \bigl(A^{T}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix}7 & -2 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.
Relação: \displaystyle (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}.

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