Quais dos sistemas têm solução não-trivial?
\left\{\begin{array}{l}2 x-y+5 z=0 \\\\ 3 x+2 y-3 z=0 \\\ x-y+4 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo
\begin{cases} 2x - y + 5z = 0,\\\\ 3x + 2y - 3z = 0,\\\ x - y + 4z = 0 \end{cases}
Queremos saber se ele admite solução não-trivial (ou seja, além de x=y=z=0). Para isso, vamos montar a matriz de coeficientes e verificar seu determinante.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5\\\\ 3 & 2 & -3\\\\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
Calculemos \det(A) por expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\ -1 & 4\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}3 & -3\\\ 1 & 4\end{pmatrix} +5\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\ -1 & 4\end{pmatrix} =2\cdot4-(-3)\cdot(-1)=8-3=5,
\det\begin{pmatrix}3 & -3\\\ 1 & 4\end{pmatrix} =3\cdot4-(-3)\cdot1=12+3=15,
\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =3\cdot(-1)-2\cdot1=-3-2=-5.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot5+(1)\cdot15+5\cdot(-5)=10+15-25=0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A tem posto menor que 3. Em um sistema homogêneo 3\times3, isso garante infinitas soluções, logo existe solução não-trivial.

Resposta

O sistema admite solução não-trivial, pois \det(A)=0.

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