24- A variável tempo de exposição a gazes tóxicos segue uma distribuição normal com média e variância desconhecidas. Uma amostra de tamanho 14 foi coletada, apresentando média de 23 minutos e desvio padrão de 5 minutos. A empresa responsável pela segurança dos trabalhadores aplica teste t de Student para testar se a média de exposição diária é menor que 25 minutos, com nível de significância de 5 \%. A tabela t-student está atrás da prova. Neste cenário, pode-se assumir que é CORRETO apenas o que se afirma em:
(a) O teste t realizado pela empresa é inválido, pois a amostra não é suficientemente grande.
(b) resultado do teste t demonstra que a média de exposição é significativamente menor que 25 minutos.
(c) A hipótese alternativa assumirá que a média da população é diferente de 25 minutos.
(d) De acordo com o desenho da região crítica, o teste é bilateral.
(e) A empresa espera rejeitar a hipótese nula.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de exposição segue distribuição normal com média e variância desconhecidas. Foi coletada uma amostra com n=14, média amostral \bar{x}=23 minutos e desvio padrão amostral s=5 minutos. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=5\%, se a média populacional diária é menor que 25 minutos usando o teste t de Student. Para isso, vamos definir as hipóteses, calcular a estatística de teste, determinar a região crítica e comparar o resultado com as afirmativas dadas.

Passo 2

Definimos as hipóteses como
H_0: \mu = 25
H_1: \mu < 25
A estatística de teste é
t_{\text{obs}} =\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{23-25}{5/\sqrt{14}}.

Passo 3

Calculando o denominador:
\frac{5}{\sqrt{14}}\approx 1,336.
Logo,
t_{\text{obs}} =\frac{-2}{1,336}\approx -1,497.

Passo 4

Para \alpha=5\% e df=n-1=13, o valor crítico para teste unimodal à esquerda é
t_{\text{crit}}=t_{0,05;\,13}\approx -1,771.
Como
t_{\text{obs}}=-1,497 > -1,771 = t_{\text{crit}},
falhamos em rejeitar H_0. Portanto não há evidência significativa de que \mu<25.

Passo 5

Analisando cada alternativa:
(a) Falso. O teste t é válido para amostras pequenas quando a população é normal.
(b) Falso. Como t_{\text{obs}} não caiu na região crítica, não podemos afirmar significância.
(c) Falso. A hipótese alternativa é unilateral à esquerda \mu<25, e não “diferente de 25”.
(d) Falso. A região crítica é unilateral, não bilateral.
(e) Verdadeiro. O objetivo do teste é justamente rejeitar H_0 para demonstrar que a média é menor que 25 minutos.

Resposta

(e) A empresa espera rejeitar a hipótese nula.

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