XXXVI. { }^{19} Encontre o limite da sequência convergente a_{n} tal que a_{0}=1 e a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2^{n+1}} para n>0.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência (a_n) definida por
a_{0}=1, \qquad a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2^{n+1}} \quad(n\ge0).
O conteúdo usado será o somatório de uma progressão geométrica e o cálculo de limite de sequência.

Passo 2

Aplicamos o método de “desenrolar” a recorrência para expressar a_n como soma telescópica:
a_{n} = a_{0} + \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(a_{k+1}-a_{k}\bigr) = 1 + \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{k+1}} = 1 + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}}.

Passo 3

O somatório \sum_{k=1}^{n}\tfrac{1}{2^{k}} é uma progressão geométrica de razão \tfrac12. Sabemos que
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}} = \frac{\tfrac12\bigl(1-(\tfrac12)^{n}\bigr)}{1-\tfrac12} = 1 - \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}.
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a_{n} = 1 + \bigl(1 - (\tfrac12)^{n}\bigr) = 2 - \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}.

Passo 4

Para achar o limite, observamos que \bigl(\tfrac12\bigr)^{n}\to0 quando n\to\infty. Assim,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(2 - (\tfrac12)^{n}\Bigr) = 2 - 0 = 2.

Resposta

O limite da sequência é 2.

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