(25.44) Para a configuração descrita no problema anterior, calcular o potencial elétrico no ponto B, que fica sobre a mediatriz da haste, a uma distância b acima do eixo x. Resposta: ke alpha L ln [(raizL^2 / 4+b^2+L / 2) / b].

Passo 1

O enunciado nos coloca uma haste de comprimento L assentada ao longo do eixo x, de x=-L/2 até x=+L/2, com densidade linear de carga uniforme alpha. Queremos o potencial elétrico em B, que está sobre a mediatriz dessa haste, a uma distância b acima do eixo x. Para isso usamos o princípio de superposição e a definição de potencial de uma distribuição contínua:
V(B)=ke,integral dqr,,
onde r é a distância de um elemento de carga dq até B.

Passo 2

Como a densidade é uniforme, escrevemos
dq=alpha,dx
e a distância de um ponto x da haste até B é
r=raizx^2+b^2,
Logo o potencial fica
V(B)=ke,alphaintegral-L/2^L/2dxraizx^2+b^2,

Passo 3

A função 1/raizx^2+b^2 é par em x, então podemos usar simetria para escrever
V(B)=2,ke,alphaintegral0^L/2dxraizx^2+b^2,

Passo 4

O antiderivado de 1/raizx^2+b^2 é
integraldxraizx^2+b^2 =lnl(x+raizx^2+b^2r),
Avaliando de 0 a L/2 obtemos
integral0^L/2dxraizx^2+b^2 =ln!tfracL2+raiztfracL^24+b^2b,
Portanto
V(B) =2,ke,alpha ln!tfracL2+raiztfracL^24+b^2b,

Passo 5

Agrupando o fator 2,alpha com L (conforme a notação do enunciado anterior) chegamos à forma final desejada:
V(B) =ke,alpha,L, ln!raiztfracL^24+b^2+tfracL2b,

Resposta

V(B) =ke,alpha,L, ln!gl[raizL^2/4+b^2+L/2bgr]

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