24^{\circ} ) Se f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}, determine a equação da reta normal e a equação da reta tangente a curva de nível da função f(x, y)=8 no ponto (-2,3).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+4y^{2}
e a curva de nível
f(x,y)=8.
Queremos, no ponto (-2,3), a reta normal (que aponta na direção do gradiente de f) e a reta tangente (que é perpendicular ao gradiente).

Passo 2

Calcular o gradiente de f:
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) = (2x,\;8y).
No ponto (-2,3) isso vale
\nabla f(-2,3) = \bigl(2\cdot(-2),\,8\cdot3\bigr) = (-4,\;24).
Esse vetor é normal à curva de nível em (-2,3).

Passo 3

A reta normal passa por (-2,3) e tem direção dada por (-4,24). Em forma ponto-inclinação:
y-3 = \frac{24}{-4}\,(x+2) \quad\Longrightarrow\quad y-3 = -6\,(x+2).

Passo 4

A reta tangente é perpendicular ao vetor normal (-4,24). Se (dx,dy) for vetor tangente, então
\nabla f(-2,3)\cdot(dx,dy)=0 \;\Longrightarrow\; -4\,dx + 24\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; dy = \tfrac{1}{6}\,dx.
Logo a inclinação da tangente é m=\tfrac{1}{6}, e sua equação ponto-inclinação é
y-3 = \tfrac{1}{6}\,(x+2).

Resposta

Reta normal:
y - 3 = -6\,(x + 2).
Reta tangente:
y - 3 = \frac{1}{6}\,(x + 2).

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