A 25^{\circ} \mathrm{C}, uma solução aquosa tem densidade 1,05 \mathrm{~g} / \mathrm{ml}. Converta essa densidade para \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{3} e lb/gal (US). Dica: 1 \mathrm{ml}=1 \mathrm{~cm}^{3} ; 1 \mathrm{ft}^{3}=28,3168 \mathrm{l} ; 1 \mathrm{gal}(\mathrm{US})=3,78541 \mathrm{l}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar tudo claramente):
  • Dado: a densidade da solução é \,1,05\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL} à 25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pede-se a mesma densidade convertida para três unidades:
    1. \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}
    2. \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^{3}
    3. \mathrm{lb}/\mathrm{gal} (US)
  • Dados auxiliares fornecidos (vou usar exatamente estes valores):
    • \,1\\ \mathrm{mL} = 1\\ \mathrm{cm}^{3}.
    • \,1\\ \mathrm{ft}^{3} = 28{,}3168\\ \mathrm{L}.
    • \,1\\ \mathrm{gal(US)} = 3{,}78541\\ \mathrm{L}.
  • Constantes que vou usar (valores padrão):
    • \,1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}.
    • \,1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
    • \,1\\ \mathrm{lb}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg} (valor exato definido).

Passo 2

Converter \,1{,}05\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL} para \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} — ideia e fórmulas básicas.
Explicação didática rápida:
  • Densidade é sempre massa sobre volume: \rho=\dfrac{m}{V}.
  • Para mudar unidades, substitui-se cada unidade por um equivalente em SI.
  • Aqui usamos: \,1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg} e \,1\\ \mathrm{mL}=1\\ \mathrm{cm}^{3}=10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}.
Cálculo passo a passo:
\begin{aligned} \rho &= 1{,}05\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mL}} \\\ &= \frac{1{,}05\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg}}{10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}}\\[4pt] &= 1{,}05\times 10^{3}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\\[4pt] &= 1050\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}. \end{aligned}
Comentário amigável: trocamos gramas por quilogramas (dividindo por 1000) e mililitros por metros cúbicos (cada mL é 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3), por isso a densidade aumenta por 10^3.]

Passo 3

Converter \,1050\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} para \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^{3} — método e atenção às unidades.
Estratégia (passo a passo de raciocínio):
  • Primeiro passo: converter a massa de \mathrm{kg} para \mathrm{lb}.
  • Segundo passo: converter o volume de \mathrm{m}^{3} para \mathrm{ft}^{3}.
  • A densidade em \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^{3} é então a massa em libras dividida pelo volume em pés cúbicos.
Fórmulas e números usados:
  • \,1\\ \mathrm{lb}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg}\Rightarrow 1\\ \mathrm{kg}=\dfrac{1}{0{,}45359237}\\ \mathrm{lb}\approx 2{,}2046226218\\ \mathrm{lb}.
  • Pela dica: \,1\\ \mathrm{ft}^{3}=28{,}3168\\ \mathrm{L}. Como 1\\ \mathrm{m}^{3}=1000\\ \mathrm{L}, temos 1\\ \mathrm{m}^{3}=\frac{1000}{28{,}3168}\\ \mathrm{ft}^{3}\approx 35{,}3146667\\ \mathrm{ft}^{3}.
Cálculo numérico:
  • Massa por metro cúbico em libras:
1050\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\times \frac{1\\ \mathrm{lb}}{0{,}45359237\\ \mathrm{kg}} =1050\times 2{,}2046226218\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{m}^{3}} =2314{,}853752\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{m}^{3}}.
  • Agora dividir pela quantidade de \mathrm{ft}^{3} em 1\\ \mathrm{m}^{3}:
\rho=\frac{2314{,}853752\\ \mathrm{lb}}{35{,}3146667\\ \mathrm{ft}^{3}} \approx 65{,}55\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{3}}.
Explicação extra: primeiro convertemos a massa (kg → lb) mantendo o volume em m^3; depois expressamos esse mesmo metro cúbico como tantos pés cúbicos e dividimos para obter lb/ft^3. Dá pra verificar com um fator direto: 1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\approx 0{,}06242796\\ \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^3, e 1050\times 0{,}06242796\approx65{,}55.

Passo 4

Converter \,1050\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} para \mathrm{lb}/\mathrm{gal(US)} — explicar e calcular.
Estratégia:
  • Calcular a massa contida em 1 galão (US) usando o volume do galão em \mathrm{m}^{3}.
  • Converter essa massa (kg) para libras.
Fórmulas e etapas:
  • Volume de 1 galão em metros cúbicos:
1\\ \mathrm{gal(US)} = 3{,}78541\\ \mathrm{L} = 3{,}78541\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3} = 0{,}00378541\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Massa de 1 galão da solução:
m = 1050\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\times 0{,}00378541\\ \mathrm{m}^{3} =3{,}9746805\\ \mathrm{kg}.
  • Converter para libras:
m = 3{,}9746805\\ \mathrm{kg}\times \frac{1\\ \mathrm{lb}}{0{,}45359237\\ \mathrm{kg}} \approx 8{,}7626709\\ \mathrm{lb}.
Arredondamento útil para a prova: \approx 8{,}76\\ \mathrm{lb/gal} (US).

Passo 5

Resumo dos cuidados e verificação rápida:
  • Chequei as unidades em cada passo (kg↔lb, m3↔ft3, L↔m^3) para não “misturar” massa com volume.
  • Usei exatamente os valores fornecidos no enunciado para \mathrm{ft}^3 e \mathrm{gal} e a definição científica de libra em kg.
  • Arredondei os resultados finais de modo compatível com os 3 algarismos significativos do dado inicial ( 1{,}05).
Força aí — já fizemos tudo devagarinho e sem pular etapas; se quiser, eu repito essas conversões com outro número ou mostro como montar um fator de conversão único (por exemplo, direto de \mathrm{g}/\mathrm{mL} para \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^3) para usar rápido na prova.

Resposta

1050\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}
65{,}55\\ \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^{3}
8{,}76\\ \mathrm{lb}/\mathrm{gal}

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