3.25 Dentro da casca cilíndrica 3<r<4 \mathrm{~m}, a densidade de fluxo elétrico é dada por \mathbf{D}=5(r-3)^{3} \mathbf{a}, \mathbf{C} / \mathbf{m}^{2}. (a) Qual é a densidade volumétrica de carga em r= 4? (b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r=4 m ? (c) Quanto fluxo elétrico deixa a esfera de r=4 m ? (d) Quanta carga está contida dentro da esfera r =4 \mathrm{~m} ?

Passo 1

Dados do enunciado (copiando exatamente as informações relevantes):
\text{Dentro da casca ()}3<r<4\\ \mathrm{m}\text{, a densidade de fluxo elétrico é } \mathbf{D}=5(r-3)^{3}\mathbf{a}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.éé
O enunciado pede:
(a) a densidade volumétrica de carga em r=4;
(b) a densidade de fluxo elétrico em r=4\\ \mathrm{m};
(c) quanto fluxo elétrico sai da superfície esférica de r=4\\ \mathrm{m};
(d) quanta carga está contida dentro da esfera de r=4\\ \mathrm{m}.
Observação de interpretação (importante): o enunciado escreveu \mathbf{a} sem sufixo; como ele fala de esfera em (c) e (d), interpreto que \mathbf{a} é o versor radial \mathbf{a}_r e que a expressão é em coordenadas esféricas (ou seja, \mathbf{D}=D_r(r)\,\mathbf{a}_r). Vou usar essa interpretação para resolver a questão.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  1. A relação diferencial entre deslocamento elétrico \mathbf{D} e densidade volumétrica de carga livre \rho_v é dada por
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v.
Isto significa que a divergência do campo \mathbf{D} em um ponto é igual à carga livre por unidade de volume nesse ponto.
  1. Para um campo puramente radial em coordenadas esféricas, \mathbf{D}=D_r(r)\,\mathbf{a}_r, a divergência tem a expressão
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}D_{r}(r)\big).
Explicação curta do porquê: em coordenadas esféricas a contribuição radial à divergência envolve a variação de r^{2}D_r dividida por r^{2} — essa forma surge porque a área de uma esfera de raio r é 4\pi r^{2}; a divergência mede a taxa com que o fluxo radial por área varia com r.
  1. O fluxo elétrico total que sai de uma esfera de raio r (superfície esférica) quando \mathbf{D} é radial e depende só de r é
\Phi(r)=\oint_{S_r}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=D_r(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Isto vem do fato de que em cada ponto da esfera \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=D_r(r)\,dS e a área total é 4\pi r^2.
  1. Pelo teorema da divergência (Gauss), a carga livre total contida dentro da esfera de raio r é igual ao fluxo que sai dessa esfera:
Q_{\text{enc}}=\int_{V}\rho_v\,dV=\Phi(r).
Usaremos essas fórmulas para calcular (a)–(d).

Passo 3

Calculando a densidade volumétrica de carga \rho_v(r)=\nabla\cdot\mathbf{D}.
Temos D_r(r)=5(r-3)^{3}. Aplicando a fórmula
\rho_v(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}D_r(r)\big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(5r^{2}(r-3)^{3}\big).
Agora derivamos passo a passo a expressão dentro da derivada:
\frac{d}{dr}\big(5r^{2}(r-3)^{3}\big) =5\left[2r(r-3)^{3}+r^{2}\cdot 3(r-3)^{2}\right].
Fatorando (r-3)^{2}:
=5(r-3)^{2}\left[2r(r-3)+3r^{2}\right] =5(r-3)^{2}\big(2r^{2}-6r+3r^{2}\big) =5(r-3)^{2}(5r^{2}-6r).
Portanto
\rho_v(r)=\frac{5(r-3)^{2}(5r^{2}-6r)}{r^{2}}.
Agora avaliamos em r=4. Note que (4-3)=1, então (r-3)^{2}=1. Assim
\rho_v(4)=\frac{5\cdot 1\cdot (5\cdot 4^{2}-6\cdot 4)}{4^{2}} =\frac{5(5\cdot 16-24)}{16} =\frac{5(80-24)}{16} =\frac{5\cdot 56}{16} =\frac{280}{16}=\frac{35}{2}.
Unidades: \rho_v tem unidades de carga por volume, isto é \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}. Logo
\rho_v(4)=\frac{35}{2}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Calculando a densidade de fluxo \mathbf{D} em r=4\\ \mathrm{m}.
Basta substituir em D_r(r)=5(r-3)^{3}:
D_r(4)=5(4-3)^{3}=5\cdot 1^{3}=5.
Portanto
\mathbf{D}(4)=5\,\mathbf{a}_r\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Calculando o fluxo elétrico que sai da esfera de raio r=4\\ \mathrm{m}.
Usando \Phi(r)=D_r(r)\,4\pi r^{2} e com D_r(4)=5:
\Phi(4)=5\cdot 4\pi\cdot 4^{2}=5\cdot 4\pi\cdot 16=5\cdot 64\pi=320\pi.
Unidade: o fluxo de \mathbf{D} tem unidade de carga livre, então \Phi(4)=320\pi\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Calculando a carga total contida dentro da esfera r=4\\ \mathrm{m} (verificação por integração).
Pelo teorema de Gauss, a carga é igual ao fluxo (já calculado). Podemos também verificar integrando \rho_v sobre o volume do casca entre r=3 e r=4:
Q_{\text{enc}}=\int_{V}\rho_v\,dV=\int_{r=3}^{4}\rho_v(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Substituindo \rho_v(r)=\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}(r^{2}D_r) a integranda simplifica:
Q_{\text{enc}}=\int_{3}^{4}4\pi\frac{d}{dr}\big(r^{2}D_r\big)\,dr =4\pi\big[r^{2}D_r\big]_{3}^{4} =4\pi\big(4^{2}D_r(4)-3^{2}D_r(3)\big).
Mas D_r(3)=5(3-3)^3=0, então
Q_{\text{enc}}=4\pi\cdot 4^{2}\cdot 5=4\pi\cdot 16\cdot 5=320\pi\\ \mathrm{C},
coincidindo com o fluxo calculado. Portanto a carga contida dentro da esfera de raio 4\\ \mathrm{m} é 320\pi\\ \mathrm{C}.

Resposta

\rho_v(4)=\dfrac{35}{2}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}
\mathbf{D}(4)=5\,\mathbf{a}_r\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}
\Phi_{r=4}=320\pi\\ \mathrm{C}
Q_{\text{enc}}(r\le 4)=320\pi\\ \mathrm{C}

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