3.25 Dentro da casca cilíndrica
, a densidade de fluxo elétrico é dada por
. (a) Qual é a densidade volumétrica de carga em
4? (b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em
m ? (c) Quanto fluxo elétrico deixa a esfera de
m ? (d) Quanta carga está contida dentro da esfera
?
Passo 1
Dados do enunciado (copiando exatamente as informações relevantes):
O enunciado pede:
(a) a densidade volumétrica de carga em ;
(b) a densidade de fluxo elétrico em ;
(c) quanto fluxo elétrico sai da superfície esférica de ;
(d) quanta carga está contida dentro da esfera de .
(a) a densidade volumétrica de carga em
(b) a densidade de fluxo elétrico em
(c) quanto fluxo elétrico sai da superfície esférica de
(d) quanta carga está contida dentro da esfera de
Observação de interpretação (importante): o enunciado escreveu
sem sufixo; como ele fala de esfera em (c) e (d), interpreto que
é o versor radial
e que a expressão é em coordenadas esféricas (ou seja,
). Vou usar essa interpretação para resolver a questão.
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- A relação diferencial entre deslocamento elétrico
e densidade volumétrica de carga livre é dada por
Isto significa que a divergência do campo
em um ponto é igual à carga livre por unidade de volume nesse ponto.
- Para um campo puramente radial em coordenadas esféricas,
, a divergência tem a expressão
Explicação curta do porquê: em coordenadas esféricas a contribuição radial à divergência envolve a variação de
dividida por
— essa forma surge porque a área de uma esfera de raio
é
; a divergência mede a taxa com que o fluxo radial por área varia com
.
- O fluxo elétrico total que sai de uma esfera de raio
(superfície esférica) quando é radial e depende só de é
Isto vem do fato de que em cada ponto da esfera
e a área total é
.
- Pelo teorema da divergência (Gauss), a carga livre total contida dentro da esfera de raio
é igual ao fluxo que sai dessa esfera:
Usaremos essas fórmulas para calcular (a)–(d).
Passo 3
Calculando a densidade volumétrica de carga
.
Temos
. Aplicando a fórmula
Agora derivamos passo a passo a expressão dentro da derivada:
Fatorando
:
Portanto
Agora avaliamos em
. Note que
, então
. Assim
Unidades:
tem unidades de carga por volume, isto é
. Logo
Passo 4
Calculando a densidade de fluxo
em
.
Basta substituir em
:
Portanto
Passo 5
Calculando o fluxo elétrico que sai da esfera de raio
.
Usando
e com
:
Unidade: o fluxo de
tem unidade de carga livre, então
.
Passo 6
Calculando a carga total contida dentro da esfera
(verificação por integração).
Pelo teorema de Gauss, a carga é igual ao fluxo (já calculado). Podemos também verificar integrando
sobre o volume do casca entre
e
:
Substituindo
a integranda simplifica:
Mas
, então
coincidindo com o fluxo calculado. Portanto a carga contida dentro da esfera de raio
é
.